被遗忘的数学课：数学的科学与人文精神

2023-11-19 理论教育版权反馈

【摘要】：多少年以来，在教科书和学校的课程中，在功利化的教学中，都将数学看作是一系列毫无“诗”意、充满技巧性的程序.这样看待数学，就好像把人体结构中每一块骨骼的名称、结构和功能当作活生生的、有思想、富于激情的人一样，数学脱离了其丰富的科学、人文精神，它的形象就被完全歪曲了.数学学科并不仅仅是对科学家、工程师或许还有金融家才有用的一系列的技巧，这些技巧只不过是它的一个方面，它们远远不能代表数学，正如调配颜色远

多少年以来，在教科书和学校的课程中，在功利化的教学中，都将数学看作是一系列毫无“诗”意、充满技巧性的程序.这样看待数学，就好像把人体结构中每一块骨骼的名称、结构和功能当作活生生的、有思想、富于激情的人一样，数学脱离了其丰富的科学、人文精神，它的形象就被完全歪曲了.

数学学科并不仅仅是对科学家、工程师或许还有金融家才有用的一系列的技巧，这些技巧只不过是它的一个方面，它们远远不能代表数学，正如调配颜色远远不能当作绘画一样，技巧是将数学的激情、美和深刻的内涵剥离后的产物.

要想了解数学的全貌和欣赏数学的魅力，我们必须要树立这样的一个观点，在人类文明的发展中，数学一直是一种主要的文化力量.人人都知道数学在人类生活、工程设计中的实用价值，但却很少有人懂得数学在科学推理中的重要性以及它在科学理论中所起的核心作用，至于数学决定了大部分哲学思想的内容和研究方法，为政治学说和经济理论提供了依据，塑造了众多流派的绘画、音乐和建筑风格，创造了逻辑学，为我们必须回答的人和宇宙的基本问题提供了最好的答案，这些就更加鲜为人知了.作为理性精神的化身，数学已经渗透到以前由权威、习惯、风俗所统治的领域，并且取代它们成为思想和行动的指南.最为重要的是，作为一种宝贵的、无可比拟的人类成就，数学在提供审美价值和使人赏心悦目方面，也可以与其他任何一种文化门类相媲美.

数学文化包括两个方面，一方面是数学本身作为一个文化系统，它的发生、发展及其结构；另一方面，作为人类文化子系统的数学文化，它所涉及的是数学与其他文化、与整个文明的关系.

数学家，就像画家、诗人一样，都是模式的创造者，要说数学家的模式比画家、诗人的模式更长久，那是因为数学家的模式由思想组成，而画家以形状和色彩创造模式，诗人则以言语和文字造型.一幅画或许蕴含着某种意境，一首好诗有很好的诗意，但数学家除了思想之外别无他物，数学家的模式更能持久，因为受严格逻辑限制而证明的数学定理是永恒的.公元前300年欧几里得对毕达哥拉斯定理的证明，并未因时光的流逝而丝毫丧失它的美与活力，而在其他学科，今天流行的风尚，往往明天就遭人遗忘，许多深受民众欢迎和尊重的作家，也许不久人们对他就已淡然.21世纪，超级明星们匆匆来去，转瞬即成历史，而那些旨在改变世界的观念，最终却常常会变成思想垃圾.

在各种艺术形式中，数学家为音乐所吸引的最多，甚至有一些研究声称，受过音乐教育的儿童在科学领域中表现得更为优秀.这其实不难猜出为什么会这样，尽管在所有艺术形式中抽象都很重要，但音乐在其中最具有代表性，音乐可以说是最明显的抽象艺术.

如同音乐利用符号（乐谱）来代表和传播声音一样，数学用符号来表示数量关系和空间形式.数学符号对数学的作用犹如音符之于音乐.一页乐谱表示一段音乐，但音符与音乐不是一回事，只有当记在纸上的音符被人歌唱或在乐器上演奏时，音乐本身才会出现，在演奏中，音乐变得活灵活现，富有生命，存在于我们的想象之中.对于数学来说，情况也是如此，当印在纸上的数学符号被训练有素的人阅读时，这些符号就会活跃起来——数学就像一首抽象的交响乐，在读者的心灵中生存.

但数学与音乐也有一个明显的差异，虽然只有少数受过音乐专业训练的人才可以读懂乐谱，并且在心灵中听到这段音乐，但对一位普通的人来说，任何人都拥有聆听的感官能力，而不需要专业训练，都有天赋、经验享受音乐表演，产生共鸣，但就数学而言，充满数学符号的书页对普通人来说不仅仅是“天书”，更为可惜的是，我们还未能发明出一双“听懂数学”的耳朵，音乐可以刺激人们的感性，所有的人都能欣赏一首悦耳的曲调，而数学无能为力，不懂音乐也只是有些驳面子，而所有的人都如此惧怕数学这个名称，以至于我们每个人都由衷地说自己没有数学细胞.

人们往往只注重数学在解决因社会发展需要而面临的问题的功效上，但对于审美情趣、好奇心、智力挑战和心灵的满足等方面，往往以为是次要的.客观上，正是实用的、科学的、美学和哲学的因素，共同地促进了数学的形成和发展，把这些做出贡献、产生影响的因素除去任何一个或抬高一个而去贬低另一个的认识都是不正确的，我们甚至不能断定这些因素中，哪些具有相对的重要性.在判定数学的价值方面，和谐、美、心灵的满足以及情感与实用的、科学的标准同样重要，但我们学习数学的方法导致我们对数学的准确认识相距甚远.

数学如同诗歌、音乐一样，能训练并陶冶人的情操，数学创造的最主要的驱策力源于人们对美的追求.

数学之美是一种抽象的美，就像美妙的音乐与伟大的诗歌一样，但它是用头脑而不是用感官来体验的，为了欣赏数学之美你就必须走进数学的殿堂，正如著

名匈牙利数学家埃尔德什所说的那样，“为什么贝多芬的第九交响曲很美？如

果你说不出所以然，别人也不能够告诉你，我知道数学是很美的，但我只能告诉你，如果它们不美，那就没有美的东西了”.

我们学习数学的历程，就是一路不断领悟、欣赏数学之美的历程.这里既有数的美，式的美，形的美等形式美，又有理论美，方法美，简洁美等内涵美，甚至混沌也是一种非凡的美.天文学家开普勒认为几何学中的两件瑰宝是毕达哥拉斯定理和黄金分割律；笛卡尔崇尚数学统一性的美，并在这种美学思想的驱动下努力寻求几何学与代数学的和谐统一，创立了解析几何；两千多年前欧几里得关于素数有无穷多个的证明，生动地表现了数学方法美的魅力，而我们前面《三重奏》讲座中谈到的欧拉的eiπ+1=0更是一种奇异的美，使人为之倾倒.

数学是一门具有其特殊完美性的艺术，像画家和诗人的模式一样，数学家的思想也必须和谐一致，丑陋的数学在世上无永存之地.一个完全合格的数学证明，必须要经得起两种完全不同类型的评判：作为理性的论证，它必须合乎逻辑、令人信服，同时还要优美，富于启发性，能够给人以情感上的满足.也就是说你的证明既要符合逻辑，也要漂亮，两者缺一不可.

这会使我们形成一个经验：改进你的论证.对某一数学问题，也许你已经给出了答案，但这并不意味着它就是最佳的解释，我们要力图减少其中不必要的混乱或复杂之处，而找到一种完全不同但却能让我们更加深入地理解问题的方法，让我们来看一个很有趣的例子.

对三角形的研究，我们称之为三角学（trigonometry，希腊语“三角形度量”的意思），三角学主要研究三角形的各个量之间的关系——角度、边长和面积，例如，三角形的面积怎样取决于它的三条边？

关于三角形，最值得注意的是，三角形完全可以由它的三条边决定，如果知道三角形的三条边，那么这个三角形就已经完全确定下来了，与其他多边形不同，三角形具有稳定性.

三角形的稳定性决定了三角形的三条边能决定其面积，我们的问题是：已知三角形的三条边为a，b，c，求其面积的表达式.

我们从一种自然的方法开始，如图10-1，首先，我们从三角形一边上的顶点向底边作一条垂线，于是三角形的面积Δ就可以表示为，这样一来，问题就变成了怎样用边a，b，c来表示高h.

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图10-1(www.chuimin.cn)

高将底边分成两部分x和y，这样原始的三角形就被分成了两个直角三角形，运用勾股定理，我们有

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解这个方程组可得 pagenumber_ebook=231,pagenumber_book=223

将代入第一个方程得，从而我们有 pagenumber_ebook=231,pagenumber_book=223 ，

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这正是我国古代秦九韶《九章算术》中的三斜求积公式.

到这一步，我们成功地用a，b，c表示出了三角形的面积.

但注意，这样的代数表达式在美感上是令人无法接受的.

回到最初出发的地方，我们的问题是，在已知三条边的情况下求出一个三角形的面积.在平等地对待三条边的意义上，这个问题可以说是完全对称的，三条边中，并没有哪一条边更“特殊”.特别是，这个问题本身并没有涉及底边（我们在求解的过程中，把c作为了底边），这意味着，在代数上，无论最终的面积表达式是怎样的，符号a，b，c的地位应该是平等的，它们在面积表达式中必然是对称的，也就是说，如果我们交换其中所有的a或b或c，那么表达式应该会保持不变，因此，对三斜求积公式，我们有必要进一步化简：

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好了，现在看起来更像是结果了，因为我们终于看到了对称，等式也变得相当漂亮.

千万不要忽视了对称性，在很多情况下，它都是我们所拥有的最强有力的数学工具，可惜我们的“三斜求积公式”没有到达这一步.

当然，①式和②式在数学内容上，其实并没有真正改变任何东西，对于面积怎样取决于边长，这两个等式所表达的含义完全相同——面积和边长之间的实质关系，并没有因为我们做了一些灵活的代数恒等式变形而改变，但我们应该树立这样的理念，数学关乎的并不仅仅是真理，而且是完美的真理，只是得出三角形的面积公式并不足够，我们还需要面积公式很漂亮，现在，我们终于如愿以偿：

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这个式子看起来还是有些复杂，我们通过引入一个适当的中间量，可以使公式变得更加漂亮.我们引入中间量 pagenumber_ebook=232,pagenumber_book=224 ，p代表三角形周长的一半（半周长），这样，三角形的面积就可以简单地表示为.

这个漂亮的公式最初出现在古希腊数学家亚历山大港的海伦的著作里（海伦生活在公元60年左右），正是由于这个原因，这个公式被称为海伦公式，特别值得注意的是，在海伦生活的时代，用不到这么多的代数，海伦肯定不是以用我们这种代数变形方式推出这个公式的，而海伦公式“超越”三斜求积公式，正是古希腊数学家理性思想（美学思想）的威力所在.

英国数理逻辑学家、哲学家伯特兰·罗素在自传中回忆了他青年时遇到的危机：

“有一条小路，穿过田野，通向新南盖特，我经常独自一个人到那里去观看落日，并想到自杀.

然而，我终于不曾自杀，因为我想更多地了解数学.”

罗素认识到数学中的美，他也恰如其分地描绘出了这种美：

“正确地说，数学不仅拥有真理，而且还拥有极度的美——一种冷静和朴素的美，犹如雕塑那样，虽然没有任何诱惑我们脆弱本性的内容，没有绘画或音乐那样华丽的外衣，但是，却显示了极端的纯粹和只有在最伟大的艺术中才能表现出来的严格的完美.”

被遗忘的数学课：数学的科学与人文精神

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