数学的两个突出特点：证明与抽象性

2023-11-19 理论教育版权反馈

【摘要】：数学有两个最突出的特点，即数学证明和数学的抽象性.伊恩·斯图尔特在《现代数学的观念》一书中讲了这样一个故事：一个天文学家，一个物理学家和一个数学家正在苏格兰度假，当他们从火车车厢的窗口向外张望时，看到田地中央有一只黑色的羊.“多么有趣，”天文学家评论道，“苏格兰的羊都是黑色的！”物理学家对此反驳说：“不，不！某些苏格兰羊是黑色的！”

数学有两个最突出的特点，即数学证明和数学的抽象性.

伊恩·斯图尔特在《现代数学的观念》一书中讲了这样一个故事：

一个天文学家，一个物理学家和一个数学家正在苏格兰度假，当他们从火车车厢的窗口向外张望时，看到田地中央有一只黑色的羊.“多么有趣，”天文学家评论道，“苏格兰的羊都是黑色的！”物理学家对此反驳说：“不，不！某些苏格兰羊是黑色的！”数学家祈求地凝视着天空，然后吟诵：“在苏格兰，至少存在着一块田地，至少有一只羊，这只羊至少有一侧是黑色的.”

数学的有趣和严谨，是一种独特地看待世界的方式.这种方式来自希腊古典时期，这个时期指的是约从公元前500年持续到公元300年这一段时间.

希腊时代以前所存在的数学，都是以简单的经验积累为特征，但经验并不给我们以推理能力.人们有许多种推理方法，其中普遍运用的一种是类比法.例如，早期的人们都相信生命不朽，所以他们在埋葬死者前，要陪葬衣服、家具、宝石和其他物品，以供死者在另一个世界使用，他们的依据是，由于生活在世上需要这些物品，所以死后也同样需要.类比推理当然是有用的，但它受到一定的限制，并不是所有情形中都能使用类比方法，又比如尽管人和猿相似，但一般关于人的结论却是不能从对猿的研究中类比过来的.

使用得比较广泛的另一种推理方法是归纳法，归纳法的本质是在有限个例子的基础上概括出一个一般的结论，我们同样知道，通过归纳推理得到的结论，也并不一定总是正确的.

在得到结论的几种方法中，每一种无疑都会在一定的情形中有用，但它们又都有一定的适用范围.即使作为类比或归纳推理基础的事实是完全确定、正确的，得到的结论也依然有可能不确定、不正确.

幸运的是，有一种推理方法，能保证它所导出的结论具有确定性，这种方法称为演绎法.如一个经典的例子：如果接受“所有的人都会死”的事实，苏格拉底是一个人，那么就能够必然断定，苏格拉底会死.

演绎法是从已认可的事实推导出新命题，如果承认原有的事实，就必须接受推导出的新命题.作为一种获得结论的方法，它与反复试验法、归纳法和类比推理相比，突出的优点就是：如果前提确定无疑，则结论也必定确定无疑，没有丝毫可疑或近似的性质.

当然，演绎法有这个特殊的优点，但它并不能取代实验法、归纳法或者类比推理，古代人数百年来都是从经验中得到数学公式，如果他们等待演绎的证明，那么金字塔就不会屹立在沙漠上，万里长城也不会存在于神州大地.

因此，获取知识的各种多样的方法都有其利弊，尽管如此，希腊人却仍然坚持：所有的数学结论只有通过演绎推理才能确定.

对希腊人来说，埃及人和巴比伦人所积累的数学知识是由沙子砌成的空中楼阁，一触即散；而他们寻求的，是建造一座由坚不可摧的大理石建造的、永恒的宫殿.

希腊人坚持演绎推理作为数学证明中唯一的方法是为数学做出的最重要的贡献，它使得数学从木匠的工具盒和测量员的背包中解放出来.从此以后，人们开始靠理性，而不是凭感觉去判断什么是正确的.正是依靠这种判断，理性才为数学、为人类文明开辟了道路.

演绎法异乎寻常的作用，将数学从经验科学中解放出来，一直是数学惊人力量的源泉，而且以此将数学与所有其他知识领域的各门科学区别开来，特别是使数学与自然科学有了最明显的区别.

在自然科学中，一个假设被提炼出来，用以解释某一物理现象，如果对物理现象的观察结果与这个假设相符，这就成为这个假设成立的证据，进一步，如果这个假设不仅能描述已知的现象，而且还能预言其他的现象，那么可以通过实验来验证这个假设的预言能力，如果它再次继续成功，那么就有更多的证据支持这个假设.最终，证据的数量可能达到压倒性的程度，于是这个假设就被接受为一个科学理论.

科学理论的证明永远不可能达到数学定理的证明所具有的绝对程度：它仅仅是根据已得到的证据被认为是非常可能的.科学的证明依赖于观察和理解力，而这两者容易出错或出现偏差，所以科学理论仅仅提供了近似于真理的概念，即使被人们最为普遍接受的科学“证明”中，也总有那么一点儿可疑的成分，有时候，这种怀疑会减少（尽管它永远不会完全消失）；而另一种可能是这种证明最终被证实是错的，科学证明中的这个弱点会导致用一种新的理论替代原来曾被认为是正确的理论的科学革命，而新理论也可能只是原理论的修正或进一步深化，也可能与原有理论完全相反.

数学证明比我们日常用语中非正式使用的证明概念，比物理学家或化学家所理解的证明概念都远为有力和严格.

经典的数学证明的方法是从一系列公理、陈述出发，这些陈述有些是显然为真的，有些也可以是假定为真的，然后通过逻辑论证，一步接一步，最后得到某个结论，如果公理是正确的，逻辑也无缺陷，那么得到的结论将是不可否定的，这个结论就是一个定理.(www.chuimin.cn)

数学证明依靠的是逻辑，而且一经证明就永远是对的，数学证明是绝对的.

希腊人的第二个卓越贡献在于，他们将数学抽象化.

在早期的人类文明中，人们学会了思考数字和用这些数字进行一定程度的运算，但这仅仅是一种无意识的行为，这就好像我们今天的小孩学会思考和进行运算一样；希腊时代以前的几何还没有形成一种学说，对古埃及人来说，一条直线只不过是一段拉紧了的绳子，或者在沙地上画出的一条线，一个矩形就是将一块田地围起来的篱笆.

希腊人不仅自觉地认识了数的概念，而且他们还发明了算术、高等算术（数论），同样的，在几何学中，点、线、面等词变成了思想方面的概念，这些概念只是源于物质实体，但又与这些物质实体不同，就好像财富的概念不同于土地、房屋和珠宝，他们将物质实体从数学概念中剔除，仅仅留下了外壳.显然，思考抽象事物比思考具体事物困难得多，但却可以获得一个最突出的优点——获取了一般性.一个已证明了的关于抽象三角形的定理，同时适用于由3根木棍搭成的图形，画在黑板上的三角形，或由北京、上海和纽约形成的三角形.

希腊人偏爱抽象概念，对他们来说，抽象概念是永恒的、理想的和宝贵的，而物质实体却是非理智的、不完善的和易腐朽的，物质世界除了能提供一个理想的模式外，没有其他意义.

坚持数学中的演绎法和抽象方法，希腊人创造了我们今天所看到的这门学科，而这两个特点都由希腊的哲学家们加以传播.

人们描写希腊对现代文明的贡献时，大多所谈论的是艺术、哲学和文学方面的贡献，无疑，希腊人在这些领域遗留给我们的财富，应该得到高度的赞扬.希腊哲学今天依然像当时一样，充满活力，意义重大，希腊的建筑和雕刻，对于21世纪一般受过教育的人来说，甚至比当代的作品更加优美，希腊戏剧依然在舞台上演.但是，希腊人最大程度上决定着今天文明本质的贡献，则是他们的数学，他们改变了这门学科的性质，这是为人类奉献的最好的礼物.

数学的抽象性我们还可以这样来理解，我们的数学世界其实是不存在的，这句话听起来有点危言耸听，换一句话说可能温和些，数学世界是一个虚拟的世界，或者说是一个理想的世界.我们生活的世界有很多不同的“现实”同时存在，其中包括我们天天身处其中的物理世界，还有那些与物理现实十分相似的想象世界，我们在这里称之为“物理现实”与“数学现实”.

我们所处的物理世界是十分复杂的，任何事情都不是表面看上去的那样简单，其中的物体会热胀冷缩，而原子则会飞来飞去，也没有任何东西能够在真正的意义上被度量，如我们不知道一株小草真正的高度，在物理现实中，任何度量都必然只能够是粗略的近似.这是由物理现实的性质决定的，最小的微生物也不是一个点，最细的金属线也不能说是一条直线.

但物理现实是实实在在的存在.那么，数学现实为什么又是想象的呢？

举一个通俗的例子，上几何课时，老师在黑板上画出一些正三角形、正方形、圆，无论老师是徒手画也好（注意，这里与上课认真不认真没有关系）；用圆规、直尺认真画也好，甚至用多媒体几何画板、3D动画也好，它们终究是物理现实的一部分（总归是近似的），我们手里永远不可能握着一个真正的圆，但在我们的头脑中都可以想象一个这样的圆，我们数学课堂上真正讨论的就是这样一种完美、想象的形状，而且我们能够度量它.数学上的度量不是使用诸如直尺、量角器之类的现实工具，而是用我们的头脑，比如我们度量正方形的对角线的长度，研究的其实是它与正方形的边长的比例关系，我们度量圆的周长，研究的是它与圆的直径的比例关系，而这种关系与你画的图形有多准确无关.我们在黑板上画出的图形可以激发我们的想象，画图的质量对我们研究的数学内容没有什么影响.对数学而言，图的作用并不是确定或者定义某个形状，我们将圆描述为“到定点的距离等于定长的所有点所组成的形状”，圆上所有的点都遵循这一简单的模式，正是模式本身定义了形状.

伴随着人们对“两个现实”的不断探索和研究，自然科学家们尝试着去探索物理现实的工作原理，并试图去描述它，把握它；而数学家做的事是描述数学现实，找出模式，找出隐藏在其背后的原理，我们同时拥有这两个美好的世界.

数学现实是物理现实的理想状态，数学艰难地徘徊在现实与非现实之间，联结着心灵感知的抽象世界和我们身处其中的真实的物理世界，有意思的是这里并不是理想服从于现实，而是现实服从于理想，而这正是数学的力量.

我们的世界无时无刻不在消费数学，但为了让这个世界“界面友好”，数学则躲在幕后.当驾驶一辆汽车，你绝对不想考虑所有那些复杂的机械方面的方程式，只想钻进车子里将它开走.我们不需要理解信号处理原理，手机可照打不误.但我们要记住的是，下次当你戴着随身听慢跑，并饶有兴趣地查看自己走了多少步时，请暂停几秒钟，想一想，要是没有数学，所有的这些奇迹都不会被创造出来.

前面我们就“数学是什么”说了很多，基本上是从数学本身或数学内部来认识数学的.多少年来，人们一直遵循“数学是文化的组成部分”的传统，然而，在我们这个教育普及的时代，这一传统却被淡化了.虽然我们的中小学教育取得了巨大的成就，然而，在课程设置上，却存在一个重大的缺陷，这就是我们中学的“文理分科”，这个文理分科将“数学”与“人文”或说将“自然科学”与“人文科学”过早地割裂开来，非常不利于一个人的认知的发展.我们面临着这样一个“病态”的环境，还有大量枯燥乏味、商业气息十足的教辅材料和不利于智力健康发展的教学风气.在课外，头版头条天天有，汪峰没上头条大家津津乐道，但从没见到过数学上头条.有些名人访谈、传记中偶尔也会提到数学，那就是他数学学得如何如何的差，普希金零分，钱钟书零分，就连我们可爱的小丫数学也考过零分.在学校，在我们的身边，数学就是这样被机械化、妖魔化的.

所幸的是，新一轮的高考改革方案将改变文理分科这样的一个病态的现状，它不仅体现在高考上，而且会对人们的思想认识等方面产生重大而深刻的影响.

下面的内容，我们将就数学与科学、哲学、美学、音乐、人文等文化领域的内在联系，详细地说明数学对文化、理性精神、现代人类思想的发展所产生的深刻影响，使我们了解到数学是人类文化的重要组成部分和不可缺少的重要力量.这有助于还没有欣赏到数学全貌和数学魅力的我们进一步了解数学.

数学的两个突出特点：证明与抽象性

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