纯数学与应用数学：被遗忘的数学课

2023-11-19 理论教育版权反馈

【摘要】：对某一学科或某一事物，人们常常用“分类”思想来进行把握和认识，仅仅就解题而言，我们知道“分类讨论”通常也是一种重要的解题手段，对我们普通的中学生而言，数学是什么？

对某一学科或某一事物，人们常常用“分类”思想来进行把握和认识，仅仅就解题而言，我们知道“分类讨论”通常也是一种重要的解题手段，对我们普通的中学生而言，数学是什么？“数学是代数和几何”是一个比较天真的说法，随着我们数学学习的不断深入，我们知道，现代数学的发展，已不再是“空间形式和数量关系”所能完全涵盖的了.

但就数学的内容以及数学的一些特点而言，人们仍然喜欢用分类的思想来划分不同的数学范畴，我们经常在数学课外书中看到“有用的数学”和“无用的数学”、“好的数学”和“不大好的数学”、“主流数学”和“非主流数学”之类的划分，其中比较形象的或看得最多的是一种所谓的“纯数学”与“应用数学”的划分.

数学历史的发展和数学的特点告诉我们，数学具有广泛的应用性，没有哪一门学科被公认为比数学更有用.许多数学概念的出现和数学分支的发展，源于人们解决实际问题的需要，如“几何”一词的基本含义就是“丈量土地”的意思，前面我们讲到的“对数”概念的发明源于人们在天文、航海、贸易中需要解决许多复杂数据的计算问题，而微积分的发明源于人们需要解决运动和变化的问题.然而，随着数学自身的蓬勃发展，数学也会脱离与现实世界的关联，按自身内部的逻辑发展而运作，这就好比作家在进行创作时的情景，刚开始时人物是作家虚构的，但随着故事情节的展开，作家发现这个人物已开始不听话了，他会按自己的意志行事一样.

17、18世纪，数学为力学定律和行星运行提供的数学模型取得了巨大的成就，它与人们观测的结果相符，令人赞叹.数学的这些非凡的应用以及随后的其他应用，使人们认为数学研究的基本目标就是为自然的运作提供模式.如果微积分方法看上去管用，它何以管用又有何妨呢？一些人认为，只要是导致合理结论的解法都可被接受，而不能解决实际问题的数学分支则被认为是无益的，可以忽略的，这些人属于“应用数学”一派.

另一部分数学家秉承古希腊阿基米德们的数学传统，在他们看来，人们用于解决实际问题的数学是微不足道的，他们所利用的数学根本够不上“学术水准”，换一句话说，不重要的数学是有用的，而真正的数学基本上不是有用的.对真正的数学家而言，人们之所以研究数学，并不是因为它有用，而是因为它有趣，数学真正的价值并不在于它的功用，而在于它能带给你快乐（学习数学的目的并不在于高考拿高分，而在于它能带给我们快乐.在他们的内心中，数学研究本身才是至高无上的动力与源泉.高斯在数论的象牙塔中感到最愉快，他陶醉于抽象的数字模式，仅仅因为它们优美和高度的挑战性，他称数论为“数学的皇后”，不让任何有用的东西弄脏自己手的皇后们有着雅致的美.英国著名数学家哈代甚至声称“若是以实用的标准来做评判的话，我的数学生命的价值是零”.

罗素曾说过一段有趣的话：“数学可以定义为这样一门学科，我们不知道在其中说的是什么，也不知道我们说的是否正确.”罗素作为一名哲学家，这还真像是哲学家说的话，罗素似乎在宣扬不可知论.但如果我们了解这段话的背景，罗素这段话其实是针对纯粹数学与应用数学的关系来说的，数学家们不知道自己所说的是什么，是因为纯数学与实际意义无关，数学家不知道所说的是否正确，是因为作为一位数学家，他们从不费心去证实一个定理是否与物质世界相符，他只关心所说的是不是通过正确推理得来的，这些人属于“纯粹数学”一派.(www.chuimin.cn)

大多参加“论战”的人们忽略了，并没有特别的原因非要把数学活动限制在某一种思想形式里，也没有适当的理由去假设纯数学好而应用数学就差（反过来也一样）.其实就某一数学内容来说，“有用”或“无用”是一个模糊概念，这个划分的标准是不明确的，因为时间会改变一切.“高端”或“无用”的数学会以想象不到的方式变成“有用”.

开普勒在圆锥曲线理论中发现行星绕太阳运行的数学模型，而圆锥曲线理论是阿波罗尼奥斯在一千八百年之前论述的，类似的情形是爱因斯坦在黎曼早已构想出的“黎曼几何”中发现了广义相对论的模型，早期的群论和希尔伯特空间在现代原子和“基本粒子”结构中起着重要的作用，就连最“无用”的“皇后”（数论）也不得不放下身段，服务于现代信息安全的领域.

在欧拉和高斯时代，一个人是有可能充分掌握全部数学知识的，没有人将数学就内在结构和使用方式分为“纯数学”和“应用数学”.欧拉可以某天探索在何处放置船的桅杆而隔天研究椭圆积分.高斯因为在数论方面的成就而永垂不朽，在纯数学领域，是一个神.但他也抽出时间去计算谷神星（第一个为人所知的小行星）的轨道，高斯还从事地理调查，发明了电报，在应用数学领域的表现也是一个天才.

到19世纪末，20世纪之前，数学已经成长倒不是任何一个人可以完全精通的地步.人们开始分类，把纯数学融入抽象领域和哲学里，而应用数学则融入物理数学和工程数学之中.研究数学的人要么投身于这门学科的理论领域，要么在数学的实际应用方面有专长，人们凭个人的偏好把自己置于这两种风格中的一种或另一种，工作比较容易取得成果，于是进一步强化了这一区分.现代的一般看法是纯数学和应用数学被认为是数学的两个主要功用：应用数学为人们解决自然正在做什么提供模式，而纯数学为数学家提供数学领域有待解决的新的问题（问题是数学的核心）——这正是数学的外表和内里.

纯数学与应用数学：被遗忘的数学课

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