黎曼假设对素数密度函数的影响

高斯在研究素数密度函数时，以敏锐的观察力捕捉到密度函数与函数有关，当N越大时，近似程度就越高，即.这也给出了一个计算小于数N的素数个数的近似公式：，显然，“～”与“=”之间有一个误差项，一般来说，比真实的π（N）要小，也就是说它给出了一个较低的估计，后来的数学家发现函数t作为π（N）的估值更加准确，这个函数记为t，一般来说Li（x）比π（x）要大，它给出了一个较高的估计，如图9-3（1）所示.当然，Li（x）的这个估计也有一个误差项，黎曼在他那著名的论文中给出了一个最好的误差项，提出了一个比素数定理更精确的描述素数分布的公式，即读作的大O，大O是一个什么东西，我们暂且不去管它.）

图9-3（1）

，改进版的t.

黎曼对欧拉早期发现的一个与素数有关的函数ζ（x）做了深入的研究，发现Li（x）与π（x）的那个误差项（）与ζ（x）的性质有关，正是就函数ζ（x）的性质，黎曼做了一个大胆的猜测，这个猜测为后世的数学家留下了一个魅力无穷的谜团，它是这样说的：

黎曼ζ函数的所有非平凡零点的实部都是.

黎曼假设相对于费马大定理和哥德巴赫猜想，其历史要短得多，它的名气在普通人中间也远远没有后者大，原因就是黎曼假设相当难理解，不能用大众容易把握的说法来表达，它深处于某种深奥的数学理论的核心.我们的讲座除了描述黎曼假设的历史和与此有关的一些人物之外，还试图把这个深奥而神秘的猜测引入我们高中生一般能理解的范围之内.当然，即使这样，我们的任务仍然是非常艰苦的.

理解黎曼假设陈述的第一个关键词是黎曼ζ函数.

这个函数不同于我们中学学过的一些初等函数，它与高等数学的“级数”有关，好在我们多少学过一些诸如“无穷递缩等比数列”的知识，并且有前面几个讲座作为铺垫，级数对我们并不陌生，我们先从级数讲起.

前面微积分讲座中我们了解到，作为一名伟大的哲学家，数学开始并不是莱布尼茨的强项，青年时期的莱布尼茨的数学储备只限于阅读一些经典数学名著，但当莱布尼茨认识到数学可以为他的哲学开路时，有强烈好奇心和极高天资的莱布尼茨感到自己需要一个“速成班”，以把握当代数学的趋势和方向.

幸运的是，他在巴黎执行外交任务时遇上了大师荷兰人克里斯蒂安·惠更斯（1629—1695），惠更斯很欣喜这位年轻的外交家.他首先抛出了一个问题，以测试莱布尼茨的水平和潜能.

惠更斯问题：求三角形数的倒数和.

所谓三角形数，就是早期毕达哥拉斯学派经常把玩的一类数，如图所示：

第一个三角形数是1，第二个是3，第3个是6，第4个是10……总之，第k个三角形数是.

他要求他年轻的学生求出S的值，

对我们来说，求三角形数的前n项和是没有问题的，但要解决惠更斯问题恐怕就要费很大的周折，当然，这个问题没有难倒莱布尼茨：

所以S=2，级数收敛.

这仅仅是莱布尼茨对数学超凡洞察力的开始，在巴黎生活的几年，他从一个数学上初出茅庐的新手迅速成长为一位数学巨人，向微积分大踏步迈进.

历史上最有名的一个级数求和是所谓的求所有计数数的倒数和，即，这个级数与音乐中的泛音有联系，很早人们就赋予这个级数一个特有的名称，叫作调和级数，好斗的伯努利兄弟对这个级数情有独钟.

调和级数有它独特的魅力，它位于我们所论述主题——黎曼假设的中心.

弟弟约翰·伯努利成功地证明了调和级数发散.

伯努利的证明以莱布尼茨的收敛级数为基础，这一清晰易解的收敛级数怎么成了论证调和级数发散的基础呢？且看约翰的证明：

莱布尼茨收敛级数可改写为的形式，伯努利引入一个辅助级数：

设（调和级数除第1项以外的所有项），

令，连续分别减去得：

所有式子相加：

从而得到A=1+A.

显然，没有一个有限数会等于大于自己的数，故A一定是无穷大.“整体等于部分”正是无穷大的本质特征，伯努利的方法是证明量的无穷性的一个最独特的方法.

莱布尼茨级数与调和级数的共同点是它们的项的值逐渐减小“最后一项”都趋于0，不同的是一个是有限和（收敛），一个是无限和（发散），对这种奇怪的现象，哥哥雅各布在其《论无穷级数》中写道“一个最后项为零的无穷级数之和也许是有限的，也许是无穷的”，并配了一首诗：

有限环绕无穷级数朝夕相伴

在无限的王国中也存在着有限

至大寓于细微之所

而最狭小的有限中却见到无限

在无限中认识细微是多么快乐

巨大存在于细小之中，啊，神秘的上天！

最早对调和级数发散性做出证明的是14世纪的法国学者尼科尔·奥雷姆（约1323—1382）.

奥雷姆的证明非常简单，所依赖的东西不超出普通算术，他发现

也就是说，从开始取这个级数的2项，然后是4项，8项，16项……你能把这个级数分组，形成无穷多段，其中每一段都大于，于是整个和必定是无穷的，不要因这些段的项数很快变大而困惑，因为在“无穷”中有着极其大量的空间，无论你取的段有多长，下一个排好了的段又在等着你，总是又有一个被加上，这就意味着总量的增加是没有限度的，简单来说，其证明过程可表述如下：

只要取调和级数中足够多的项，就能保证其和取到大于任何的有限量.

先于约翰·伯努利做出证明的还有意大利数学家彼得罗·门戈利，雅各布·伯努利为了和小弟约翰争胜，也给出了调和级数发散的一个证明.但奥雷姆的证明是所有证明中最简明、最漂亮的，也是今天的教科书中通常给出的一种.

在《论无穷级数》一书中，雅各布论证了调和级数之后，又进一步阐述了整数平方的倒数和问题，即求和

他注意到：

故.（莱布尼茨级数）

这表明，上述级数是收敛的，它趋向于某一小于2的有限数，但他们（包括弟弟约翰·伯努利）始终未能找到这个和的精确数值，这个问题也难倒了莱布尼茨.

求级数的值是一个非常困难的问题，只能由胜过伯努利兄弟的天才来解决了.

有趣的是，1735年，一位师从约翰·伯努利的年轻人终于解出了这道难题.在这一级数求和的过程中，犹如在数学的许多其他领域一样，这个年轻人最终超过了他的老师，实际上，他超过了曾经就数学研究写过些什么的所有人，这个青年学生就是非凡的莱昂纳德·欧拉.

对于欧拉，在前面的讲座中经常出现他的身影，但这并不影响我在这里多说几句，欧拉带给我们太多的神奇，对欧拉我们有说不完的话.

欧拉是数学史上最令人们喜欢的人，这有许多理由，其中重要的一条是读他的著作是件愉快的事情，欧拉总是用简洁而清楚的语言表达他的意思，没有任何矫揉造作，也没有像高斯追求的那么光鲜，欧拉主要用拉丁文写作，但这并不妨碍人们对他的欣赏，因为他有简朴而实用的文风.

欧拉还写了一本科学普及畅销书《致德国公主的信》，向普通读者解释了为什么天空是蓝色的，为什么月亮升起的时候看起来比较大，以及令公众困扰的许多诸如此类的问题.

“努力工作，虔诚，淡泊，专心于他的家庭，平凡的言谈，平凡的生活.”——也难怪在讲究排场、充满虚伪的宫廷中，腓特烈大帝不喜欢他.

欧拉显然从他的老师约翰·伯努利那里听说过这道难题，因伯努利兄弟曾相继在瑞士巴塞尔大学担任数学教授，这个问题后来就被称为“巴塞尔问题”，专业上的术语是这样描述的：

寻找无穷级数的一个闭型.

巴塞尔问题与调和级数差不多，它的每一项就是调和级数中相应项的平方，而我们知道，把一个小于1的数平方，你会得到一个更小的数，而且你用的数越小，它缩小的效果就越强，因为调和级数只不过是刚好发散的，对巴塞尔级数，期望它收敛，这并不过分，而雅各布也成功地证明了这个级数收敛于一个小于2的数.

欧拉开始研究这个级数的时候，只是简单地把级数的项越来越多地加起来，希望能够找到蛛丝马迹，这样他一直计算到第20位（在计算机时代之前，这绝非易事），发现这个级数之和趋近于数字1.6449，但遗憾的是，这个数字即使对欧拉这样敏锐的人，看起来似乎也很陌生.这个数到底是一个什么数呢？答案是不是一个分数？也许包含根式？又或许是结构更复杂的什么数？外行人可能认为，对于这个数了解到几位小数也就已经够满意了，但数学家要求准确地得到它，因为数学家知道，在求得那个准确值的过程中常常会打开意想不到的大门，照亮潜在的数学领域.用来精确表达一个数的方式，其专业数学术语就是“闭型”，而一个纯粹的小数近似值，无论多么接近，其数学术语都被称为“开型”.

欧拉没有被吓倒，他继续研究，并最终在巴塞尔问题提出46年后的1735年，发现了解开这个谜的钥匙.

欧拉是摆弄级数的超级大师，首先他将sinx用幂级数展开成一个无限长的多项式：

，这是解开难题的线索之一.

欧拉引入函数.

因为sinx=0有无数个零点，x=0，x=±π，x=±2π……故f（x）也具有这些零点（x=0除外），根据因式分解原理，f（x）可写成（x-π）[x-（-π）]（x-2π）[x-（-2π）]……的形式，换一种写法为

这是解决巴塞尔问题的核心方程，它使一个无穷和等于一个无穷乘积，对于数学家来说，这是非常有启发性的.

欧拉接下来要做的是设想“乘出”上述方程右边的无穷乘积，然后合并x的同类项.在我们看来，这太难了，因为牵涉到无穷的项，有无穷多个括号项要相乘，但在数学家的眼里，这并不困难：构成结果的每一项都是从每一个括号中各取一个数而形成的一个乘积，整个式子是将所有可能选取的组合作为乘积相加而得到.第一项是所有1的乘积，当然等于1，为了得到x2项，就必须依次用每个因子中的x2项去乘所有其他项中的1，而不是与其他因子相乘；我们的焦点在那个含x2的项：

，

迷雾终于散去：，

.

欧拉近似地算出，这是一个多么古怪的答案，大家熟悉的π，有魔力的3.1415926…，一个圆的周长与它直径的比，它到一个并不出现圆，或者说完全同几何没有“半毛钱”关系的问题中来干什么呢？这对于现代数学家来说并不很吃惊，我们已经习惯于π出现在任何地方，但在1735年，这个结果令所有的人感到惊奇.

欧拉乘胜追击，他进一步求得了：

到此，我们会立即想到一个问题，整数奇次幂的倒数和又是多少呢？如1+ 人们推测是的形式，但没有人能够证明，当然，它肯定是收敛的，如果我们笨算，也能得到它们的任何所需精确度的值，但就是不知道它们意味着什么，直到1978年，也只是被证明是一个无理数，它的闭型一直没有找到.

巴塞尔问题打开了通向ζ函数的大门：

欧拉把级数中的“2”换成字母“N”，ζ函数出现了：

显然，当N=0时，ζ（0）=1+1+1+1+…发散，

当N=1时，为调和级数，发散.

欧拉成功地计算出……

近似地表示如下表：

对巴塞尔问题的闭型解的寻求，引出了函数：这是我们对黎曼ζ函数的最初一瞥，也是向着理解黎曼假设迈出的第一步.

我们没有必要对（*）式中的数N仅限于整数.在数学家的想象中，能让它在分数、负整数和无理数的领域中到处自由逛荡，当然，这不能保证这个无穷级数对所有数收敛，例如，当N=1的时候，它就不是收敛的.

为了更好地表示这个新的认识，数学家把这个“N”换成一个不同的字母，一个较少同整数有传统联系的字母，当然，最明显的选择是“x”，然而数学家最初的选择是“s”，后来的数学家都跟着用传统的s，因此在有关ζ函数的研究中，自变量总是被写作“s”.

数学家把自变量从“N”扩充到“s”，以便于能运用分析学的工具做进一步的研究.

下面就是黎曼ζ函数（ζ读作Zeta，希腊字母表的第六个字母）的表达式，

这样的一个函数与素数有什么关系呢？天才的欧拉发现了隐藏在它们之中的联系，欧拉把有两千多年历史的“埃拉托色尼筛法”引入18世纪，进入函数论的深刻领域，且看欧拉的运作：

注意：用素数一直进行下去，直到某个相当大的素数，比方说997，我们将得到下式：

，现在，如果s是大于1的任意数，那么等式右边就只比1本身大极微小的一点儿，例如，如果s是3，右边的结果是1.0000000673103…，因此，可以毫不犹豫地说，如果一直进行下去，我们会得到：(www.chuimin.cn)

公式左边是一个无穷和的形式，而右边是一个无穷积的形式，这个特点为数学家运作提供了广阔的空间，这个公式现被称为“欧拉积公式”，因为它深刻地揭示了ζ函数与素数的关联，为数学家们研究素数分布的规律奠定了基础，人们通常也把它称为素数研究的“金钥匙”.

欧拉的“金钥匙”为素数的研究提供了一个独特的载体——ζ函数，但ζ函数不是一个简单的函数，对每一个自变量，他的函数值都是一个无穷级数的和.

前面我们已经论述欧拉ζ函数ζ（s）=1，它只在s＞1时级数才收敛，所以说ζ（s）只在s＞1时才有函数值，因而ζ（s）函数的定义域是s＞1.它的图象如图9-3（2）所示.

图9-3（2）

果真是这样的吗？

不是！为了向黎曼ζ函数挺进，我们还需要完成一段美妙的旅程.

要通过ζ函数来研究素数，数学家还需要运用一系列的技巧，来扩充它的定义域，以扩展ζ函数的疆域.

让我们暂时忘掉ζ函数，看一个我们比较熟悉的函数

S（x）=1+x+x2+x3+x4+…，一个无穷项的等比数列.它会不会收敛呢？

显然，S（1）=1+1+1+1+1+…，发散；

，收敛；

S（0）=1+0+0+0+…=1，收敛；，收敛；

S（-1）=1-1+1-1+1-…，

S（-1）有点意思，一种离奇的情况出现了：

如果取偶数项，我们可把它写为（1-1）+（1-1）+（1-1）+…，结果是0，

如果取奇数项，我们可把它写为1-（1-1）-（1-1）-（1-1）-…，结果是1，

虽然不是走向无穷大，但也不是收敛的，数学家把它看成发散的一种形式.

综上所述，我们发现只有当x在-1和1之间且不包括两端时，S（x）才有函数值，函数S（x）的图象如图9-3（3）

图9-3（3）

但是我们又注意到

S（x）=1+x+x2+x3+x4+…

=1+x（1+x+x2+x3+…）

=1+x·S（x），

解得

即，

但函数是不同的，因为它们有不同的定义域，由级数定义的S（x）的定义域为（-1，1），而由定义的S（x）的定义域是x≠1，它的图象如图9-3（4）所示

图9-3（4）

这个例子的意义在于：一个无穷级数1+x+x2+x3+x4+…可能只定义了一个函数的一部分，换一句话说，一个无穷级数可能仅在一个函数的部分定义域上定义了这个函数，这个函数的其余部分可能被藏在某个地方，等待被用某种技巧来发现，就像我们用于前面的技巧那样.

这引起了一个问题，ζ函数也是这种情况吗？用于ζ函数的那个无穷和只描述了ζ函数的一部分吗？难道还有什么东西有待发现？ζ函数的定义域有可能比只是“大于1的数”更大吗？

是的，ζ函数对于小于1的自变量也有值，事实上，就像那样，ζ函数除了仅有的例外x=1，对所有的数都有值.

那个隐藏的技巧在哪里呢？

引入一个新的函数η函数（读Eta，希腊字母表中的第七个字母），定义η（s），显然，这个级数比ζ（s）更有希望收敛，因为我们不再是不断地把数相加，而是交替地加和减，这使得每个数都在一定程度上抵消了前一个数的效果，情况也正是如此，数学家们已经证明，只要s大于零，这个无穷级数η（s）就是收敛的，这比ζ函数是一个很大的改进，因为式子只对s大于1才是收敛的.

这对于我们扩展ζ函数的定义域有什么用呢？隐藏的技巧在这里：

我们可解得，

这样，当s在（0，1）之间取值时，虽然发散，但我们另辟蹊径，通过η（s）的值来得到ζ（s）的值，而不管关于ζ（s）的那个级数在那里不收敛的这个事实.

比如当时，可计算

通过就可进一步计算的值，结果是-1.460354508….

这样，除了s=1处ζ（s）没有值以外，我们现在可以对每一个大于0的数s提供一个ζ函数的值.

数学家通过某种方法，得到当s是零时，ζ（s）的值是.

那么，对于小于0的自变量s，情况又如何呢？事情到这里确实变得很棘手.

黎曼1859年的论文的结论之一是他证明了由欧拉在1749年首次提出的一个公式，这个公式给出了ζ（s）与ζ（1-s）的关系，换一句话说，就是可用ζ（s）来表示ζ（1-s），如果你知道ζ（s）当s＜0时的值，比如ζ（-15）的值，你可以计算ζ（16），并把它代入那个公式，就可求出ζ（-15）的值.不过ζ（s）与ζ（1-s）的关系是一个很吓人的式子，据说一本数学科普书每增加一个数学公式就会使销售量减少一半，那么这个公式足以吓跑99.999%的人，当然，我们可以不怕它.

这个公式是这样的：

通过这个公式，我们可以求出ζ（s）当s＜0时的全部函数值，这样，就存在一个对任何数s都能得出ζ（s）的值的方法，s=1是唯一的例外.

从那个“怪兽”公式中我们注意到这一因子，当s=3，5，7……时，，这样ζ（-2），ζ（-4），ζ（-6）……都将是0，-2，-4，-6……以及其他所有负偶数都是ζ函数的零点.

现在，我们可以勾画ζ函数的整个函数图象，但若想画一幅ζ函数的图象，那做不到，不过，可以一张一张地来画，因为对各张图我们不得不用不同的比例尺度.当s＞1时，它的图象如图9-3（5）.当0≤s＜1时，它的图象如图9-3（6）.

图9-3（5）

图9-3（6）

当s＜0时，因为函数值在所有负偶数处为0，函数的图象（如图9-3（7））有点像正弦波的味道，它会在-2，-4，-6，-8……处反复穿过s轴，相继出现波峰和波谷，但它不像正弦波那么温柔，它的波峰的高度和波谷的深度会迅速变得越来越夸张，如当s=-50时我们知道ζ（-50）的值为0时，但它出现在s=-49.587622654…时，深度大约有305507128402512980000000，这样你就知道要画出ζ（s）的整个图象是多么的困难了，但我们可想象得出来.

图9-3（7）

数学，真是深不可测.

好了，今天我们就此打住.我们重点回顾了自古希腊以来的人们关于数论的一些研究，简单介绍了我们的主角黎曼的生平和他那深奥的“黎曼ζ函数”.级数的魅力与变化令我们眼花缭乱，但我们都感受到了这里面的非常多的有趣的内容，也感受到了它的难度和深度，更精彩的内容我们留在下一次的讲座中.

上一次讲座中我们谈到的是关于数学界目前存在的一个最大的谜，通常被称为数学中的大白鲸，这个悬而未决的问题叫黎曼假设，它是这样说的：

黎曼ζ函数的所有非平凡零点的实部都是.

黎曼虽然只活了39岁，发表的论文也相对较少，但就其论文的意义和深远影响而言，黎曼无疑是数学天空中最耀眼的明星之一.

看懂黎曼假设陈述的第一个关键是弄清楚黎曼ζ函数到底是一个怎样的函数，前一讲中我们推进到这样的一个地方：数学家把欧拉ζ函数的定义域从s＞1扩展到全体实数（s≠1），那么函数是黎曼ζ函数吗？

不是.

为了理解黎曼假设的第一个关键词，我们还须继续向前突破，进入复数的王国.

对于算术运算来说，除了运算规则稍稍复杂一点之外，复数与实数其实十分相似.

复数在数学、物理学与工程的大量领域中展现出其无与伦比的作用，例如，在电流的标准理论中就要用到复数，i出现在量子力学最基本的方程中.

与实数相比，用复数进行研究一个重要的好处是，每一个算术（多项式）方程都会有解.

从几何上来说，复数远比实数优越.实数并不具有真正的几何，它们只是直线上的点，你唯一所能做的是测量直线上的距离，而复数形成一个二维平面，有了两个维度让你周旋，意味着我们能做某种真正的几何.

在复平面中，设想我们有一个把每个复数Z=x+yi（x，y∈R）各自与一个实数f（Z）相联系的规则f，数学家把规则f称为“复变量的实值函数”，简称实变函数，这时我们可以认为数f（Z）是复平面上坐标为（x，y）的那一点的“高度”，这样，我们就成功地迈入了三维世界.

若复数Z不是与实数r=f（Z）相联系，而是与另一复数w=f（Z）相联系的规则，这样的规则f被称作“复变量的复值函数”，简称复变函数，复变函数的研究是高等数学最精致而优美的分支之一.

用威力强大的微积分（或其他方法）来分析某些复变函数的性质以研究自然数是数学的重要领域，这被称为解析数论，黎曼假设就是属于解析数论中的一个重大问题.

用解析数论去研究素数模式的关键是找到一个能提供素数信息的函数，欧拉1740年提出的用希腊字母ζ命名的“欧拉ζ函数”，把任意一个大于1的实数s和一个新的实数ζ（s）联系起来，并证明对不等于1的任意实数s，ζ（s）等于无穷乘积

作为一个从实数到实数的函数，欧拉ζ函数是一个一维的对象，虽然欧拉的无穷乘积可以让它与素数相联系，但它没有丰富的几何结构来帮助你揭示素数的模式，研究必须是二维的.

基于这样的考虑，黎曼迈出了关键的一步.

能不能把ζ函数的定义域扩展到复数世界？黎曼说，当然可以，我们可以用复数做任何事情.

ζ函数的解析式仍是这样一个无穷和，扩充到复数后，收敛性问题当然还在那里，初步的结果是：对任意实部大于1（Re（s）＞1）的复数，这个和式收敛，而对于Re（s）＜1的情况，同实自变量ζ函数一样，可以利用一些数学技巧，黎曼第一次使用一种所谓的“解析延拓”的数学方法，把定义域扩展到这个无穷和不收敛的领域，这样ζ函数除Z=1没有意义之外，能让我们计算任何复数Z的ζ函数值.

复变函数ζ通常被称作黎曼ζ函数，黎曼ζ函数终于出来了：

黎曼ζ函数的图象是什么？它能被形象化吗？

遗憾的是，通常的图象是无济于事的，不能用于复变函数，因为自变量是复数，需要一个二维平面（复平面）来铺展，函数值也是复数，需要另一个二维平面，因此，为了得到一幅图象，你需要四维空间来描绘它，这对于习惯于三维世界的人们来说是不可思议的.黎曼的工作提供了素数与复平面几何之间的联系，在数论与复分析之间架起了一座桥，跨越了计数和度量之间的鸿沟，黎曼运用复变函数来探讨素数的模式，翻开了数论研究的新篇章.

至此，我们终于成功地迈过了第一道门槛，对“黎曼ζ函数”有了一个初步的了解.

理解黎曼假设陈述的第二个关键词是：非平凡零点.

一个函数的“零点”对我们并不陌生，比如抛物线y=x2-2x-3，它与x轴有两个交点（3，0）和（-1，0），这两个点就是函数f（x）=x2-2x-3的两个零点；正弦波与x轴有无穷多个交点，所以说函数f（x）=sinx有无穷多个零点，它们都具有2kπ（k∈Z）的形式，那么，为什么要研究ζ函数的零点呢？

黎曼发现ζ函数与素数的关键联系是：密度函数Dn与方程ζ（z）=0的解有密切的关系.

方程ζ（z）=0解出的任何复数都被称作ζ函数的“零点”，黎曼首先注意到，由ζ（s）与ζ（s-1）的那个吓人的关系可知，-2，-4，-6……这些所有负偶数都是ζ函数的零点，也就是说，当z是负偶数时，ζ（z）=0，但这些零点排列有序，性质简单，这些零点都被称为“平凡零点”，黎曼接着证明了除了这些实数外，ζ函数还有无穷多个其他的零点，它们的性质远比那些平凡零点来得复杂，比如ζ函数把自变量平面上的点i映射到函数值平面上的点0，它也是ζ函数的一个零点.这些零点很复杂，被恰如其分地称为“非平凡零点”.他猜测，所有这些其他的零点都可表示为zi的形式（b∈R，b≠0），从几何上来说，ζ函数的所有非平凡零点都位于复平面内经过实轴上这一点的竖直线上——这条直线通常称为临界线，如图9-3（8）.

图9-3（8）

这个关于零点的猜想就是黎曼假设，也叫黎曼猜想.（简称RH）