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2023-11-19
被遗忘的数学课:一颗星的奇迹
【摘要】：出现在这篇论文第4页的一个假设，断言某个函数具有某种特定的性质.于是，传奇拉开了帷幕.
今天讲座的主题《一个谜》，其中的谜面：黎曼假设.显然，这个谜就是黎曼对某一个数学问题做的一个猜测，还是让我们先认识一下黎曼，我们不能像课堂学习那样，让他留在我们心中的仅仅是一个名字而已.
黎曼，1826年9月17日出生于德国汉诺威一个名叫布列斯伦茨的小村庄.大约6岁时开始学习算术，算术给年幼的孩子提供了一些不太困难的东西让他去细想，黎曼不仅理解了推给他的所有问题，而且还经常想出一些更困难的题目去惹恼他的兄弟姐妹.10岁时，他向一个叫舒尔茨的专职教师学习算术和几何，舒尔茨是一个很好的老师，但他很快就发现自己得跟着这个学生走，这孩子常常有比他更好的解题方法和思想.
黎曼（德国，1826—1866）
黎曼14岁开始进入中学，一直学习到19岁，为进入哥廷根大学做准备.
中学校长施马尔富斯注意到黎曼的数学才能，对他关爱有加，允许他不上数学课（课堂内容太浅了），并随意使用他的图书馆.一天，校长大人给了黎曼一本勒让德的名作《数论》，这是一本859页大4开本的关于数论的书，6天以后，黎曼送回了这本书.
“你读了多少？”黎曼没有直接回答，而是表示他欣赏勒让德的这部名著：“那当然是一本了不起的名著，我已经掌握了它.”
事实上，他确实掌握了它.
这无疑是黎曼对素数迷恋的开始.
黎曼在中学以惊人的速度靠自学领会的不仅是勒让德这位伟大数学家的著作，他还通过学习欧拉的著作，熟悉了微积分学及其分支.
1846年，黎曼19岁时，成为哥廷根大学一名学习哲学和神学的学生，当时家人的想法是子承父业，像他父亲那样成为一名牧师.
哥廷根有一个吸引年轻黎曼的地方，那就是高斯的家，高斯是他那个时代，也是任何时代最伟大的数学家.黎曼来到哥廷根的时候，高斯已经69岁了，他最好的工作是藏而不露，他也很少出席公众活动，他把这些看作是讨厌的浪费时间，然而，他的存在给已经迷恋数学的黎曼留下了深刻的印象，黎曼听他的课，对数学的兴趣远远超过了神学.
黎曼对哲学有深入的思考，并把他所有的数学工作都放在更大的哲学背景下来看待.一年以后，为了汲取更多营养，黎曼转到当时更加活跃的柏林大学，就学于雅可比、狄利克雷、施泰纳和艾森斯坦等数学名家，开始进入新的充满活力的数学.
黎曼在柏林大学度过了两年时间，这两年的学习使得黎曼作为一名数学家已经逐渐成熟，1849年，他回到哥廷根大学，在高斯的亲自指导下，开始了他的博士学位课程.
1851年，黎曼把他的博士论文《单复变函数一般理论的基础》交给高斯审查，这个25岁的年轻人做出的这项工作，是少数几项能激起高斯热情的、对现代数学有突出贡献的一项，高斯在给哥廷根大学哲学系的正式报告中写道：(www.chuimin.cn)
“黎曼先生的论文提供了令人信服的证据，说明作者对该文所论述的这一问题做了全面深入的研究，作者具有创造性的、活跃的、真正的数学头脑，具有灿烂丰富的创造力，表达方式清晰简明，在一些地方甚至是优美的，整篇论文是有内容、有价值的著作，它不仅满足了博士论文所要求达到的标准，而且远远超过了这些标准.”
高斯的赞扬使黎曼顺利地获得博士学位，他的愿望是成为这个大学的讲师，但在他被任命担任他盼望的这个职务之前，按规定，他还必须完成两件事：一是提交一篇书面论文，另外还要在全体教员面前做一次试验性演讲，以获得哥廷根大学的执教资格证书.
黎曼提交的论文题目为《论用三角级数表示函数的可能性》，这是一篇里程碑式的论文，它向世界贡献了黎曼积分.
为了完成这次演讲，黎曼被要求提供三个演讲题目，教授们会从中指定一个让他演讲.他盼望他们会像通常的那样选中前两个题目中的一个，那是他重点准备的内容，但他的第三个题目，正好是高斯已经仔细考虑了60年或更长时间的问题——几何基础，高斯无疑是出于好奇，想看看黎曼“灿烂丰富的创造力”会对这个深奥的问题做出些什么.
黎曼的讲稿《论作为几何学基础的假设》是数学史上的一篇伟大的杰作，是世界上所有发表过的10篇顶级数学论文之一，包含在这篇论文中的思想是如此领先，以至几十年以后才被完全接受.
黎曼的新几何具有科学上的重要意义，他的工作赋予几何一种全新的观念，他论述的几何是非欧几何，但不是罗巴切夫斯基和约翰·鲍耶意义上的非欧几何，而是一种依赖于度量概念的广泛意义上的非欧几何，黎曼给出了在三维时空中两个邻近点的距离，他所研究的空间现被称为黎曼空间，为后来爱因斯坦的相对论理论提供了数学基础.
黎曼顺利地取得了哥廷根大学的讲师席位，并在31岁时，晋升为助理教授.
1855年，高斯去世，狄利克雷接替了他的位置，作为黎曼在柏林大学的老师，狄利克雷一直很器重黎曼，曾经尽他所能，帮助这个才华横溢的年轻人.狄利克雷的关心和黎曼迅速增长的名声，使得政府提议黎曼来接替狄利克雷.1859年狄利克雷去世，黎曼在33岁时被授予正教授职位，并成为高斯的第二个继任者，接着，他又被任命为柏林科学院的通信院士，对一个年轻的数学家来说，这是一个崇高的荣誉，按惯例，黎曼须向科学院提交一篇新的论文，阐述他正在从事的一些研究，以此来接受这个任命，黎曼提交的论文题为《论小于一个给定值的素数的个数》.
下面是黎曼论文的前几句话：
“承科学院的厚爱，接纳我作为它的通信院士之一，我相信我能以最好的方式表达我的谢意，那就是立即利用我的这个特权来通报对素数分布的研究，由于高斯和狄利克雷长期对此表现出来的兴趣，这样地通报这个论题显然是完全值得的.
我把这项研究的出发点放在欧拉的观察结果上……”
出现在这篇论文第4页的一个假设，断言某个函数具有某种特定的性质.
于是，传奇拉开了帷幕.
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