微积分的发展历程：牛顿与莱布尼茨的巅峰对决

2023-11-19 理论教育版权反馈

【摘要】：微积分是一系列漫长的数学思想缓慢发展的结果，许多思想家、数学家都为此付出过艰苦的努力，微积分史学家们曾经试图追溯两条明显不同的发展线索，其一是运动学性质，像阿基米德、伽利略、卡瓦列里和牛顿那样，将数学与科学思想结合起来，另一条是原子论性质，像德谟克利特、笛卡尔、帕斯卡和莱布尼茨那样，将数学与哲学结合起来，这两种方式也许有同样的价值.有时候人们过于简单地把微积分的发明（或者说发现）归功于牛顿和莱布尼

微积分是一系列漫长的数学思想缓慢发展的结果，许多思想家、数学家都为此付出过艰苦的努力，微积分史学家们曾经试图追溯两条明显不同的发展线索，其一是运动学性质，像阿基米德、伽利略、卡瓦列里和牛顿那样，将数学与科学思想结合起来，另一条是原子论性质，像德谟克利特、笛卡尔、帕斯卡和莱布尼茨那样，将数学与哲学结合起来，这两种方式也许有同样的价值.有时候人们过于简单地把微积分的发明（或者说发现）归功于牛顿和莱布尼茨两人，这种看法是很不妥当的.事实上，微积分是长期演变的结果，它既不是从牛顿和莱布尼茨开始的，也不是由他们完成的，但不可否认，他们两个人在其中都起了决定性的作用.

一般而言，企图将伟大的发现和发明归功于个人，都会存在严重的问题，这会拔高某些个人的重要性，很少有（也许没有）单个的数学家或者科学家有资格接受一项重大发明的全部荣誉，在任何发现和发明背后，都必定能找到促使其产生的思想演化过程，微积分的历史很好地说明了这一事实.

其实，牛顿虽然是一位较为“乖僻”的科学家，但作为一个伟人，同样具有宽广谦虚的情怀，牛顿曾有这样一句名言：“如果说我比别人看得更远些，那是因为我站在巨人的肩膀上.”莱布尼茨对牛顿推崇备至，甚至曾这样评价道：“在从世界开始到牛顿生活的年代的全部数学中，牛顿的工作超过了一半.”

那么，他们两人是怎样争起来的呢？

1.牛顿和微积分

牛顿（英国，1643—1727）

伊萨克·牛顿大家如雷贯耳，但我们大部分学生无疑“被”认为他是一位伟大的物理学家.牛顿的运动三定律和万有引力定律奠定了经典物理的基础.他的著作《自然哲学的数学原理》更是科学史上光辉壮丽的诗篇，在我们讲座的第一讲中，我们知道了牛顿还是数学史上的开创性人物.牛顿作为一位伟大的思想家，是整个西方思想史上举足轻重的人物，在他出生时，科学还没有确立对中世纪宗教迷信至高无上的统治地位，而当他去世时，理性时代已经步入全盛时期，这一不同寻常的转变在一定程度上应归功于他的贡献.

当积分和微分的概念和手段从一大堆天才人物脑中喷发而出时，科学界没有别的东西能比它更复杂，影响更深远.像牛顿这样的智者，毫无疑问会置身于这一宏伟事业之中.牛顿广泛阅读了那个时代的著作，并融会贯通.牛顿曾明确地说过，首先将他引向“微积分”领域的是研读英国杰出的数学家、密码专家沃利斯所写的关于解决曲线面积问题的著作，作为研究的一部分，他把沃利斯的成果扩展到无穷级数，并在运用它们的过程中，找到了曲线长度和切线的通用表达式以及处理求积问题的方法，微积分史学家们公认这是该领域的起点.

1669年，牛顿将他的早期成果写成一本小册子，取名为《无穷级数分析》，但它没有发表，只是以手稿的形式在少数几个同事中传阅，之后，牛顿将他的兴趣转向其他领域，直到17世纪80年代，牛顿利用微积分在机械力学、引力和物体的运动研究方面取得辉煌的成就，在他的朋友埃德蒙·哈雷的强烈建议下，才决定把自己的成果付梓出版.1685年，《自然哲学的数学原理》问世，书中简单地提到了新发现的微积分，微积分解决了书中的一些重要问题，然而牛顿仍然将它深藏起来，抹去痕迹，而是把结果用当时的标准以传统的几何形式表达出来.

2.莱布尼茨和微积分

莱布尼茨，1646年出生于德国的莱比锡，约比牛顿小4岁.莱布尼茨生来聪慧过人，6岁开始阅读他父亲图书馆里的书（他父亲是莱比锡大学哲学教授），14岁时，他已经在传统学科各个领域都很精通了.15岁开始，他在莱比锡大学学习，专攻法律.莱布尼茨兴趣广泛，把一切领域的知识都作为自己追求的目标，他的研究涉及哲学、法学、语言学、逻辑学、力学和地质学等多个范畴，他还想建立通用符号、通用语言，以便统一一切科学.在他年仅27岁时，就凭借其发明的一台机械计算装置加入了英国皇家学会，这台可以进行加、减、乘、除的机器是人类历史上的第一台计算机.

莱布尼茨（德国，1646—1716）

最初，莱布尼茨不是研究数学的专家，他并没有受过数学方面的专门教育.他是作为外交官因外交事务在欧洲各地旅行的逗留期间，在与惠更斯等数学家的交往中，感受到了数学的魅力而开展他的数学研究的.相对于牛顿这样一位伟大的数学家（1669年，牛顿接替导师巴罗成为剑桥大学卢卡斯数学教授，只有顶级数学家才有资格担任这一职位），莱布尼茨多少是个外行，牛顿的主要兴趣在于用数学方法解决自然科学问题，而莱布尼茨则像笛卡尔一样，希望在哲学上有重大创建，并认为数学可以为他开路.

到17世纪80年代，莱布尼茨已经使自己成长为一个很有前途的数学专家了，他的第一篇微分学论文《求极大值和极小值以及切线的新方法，对有理量和无理量都适用的一种值得注意的演算》于1684年发表在《博学学报》上，在这里，我们第一次看到微分基本公式的清楚表达：dxn=nxn-1.

莱布尼茨关于积分学的第一篇论文发表于1686年，其中首次引进了积分号“∫”，并且论述了积分（求积问题）与微分（求切线问题）的互逆关系，该文的题目为《探奥几何与不可分量及无限的分析》.

莱布尼茨是数学史上最伟大的符号学者，他在创建微积分的过程中花了很多时间来选择精巧的符号.他认识到好的符号不仅可以起到速记的作用，更重要的是它能够精确、深刻地表达某种概念方法和逻辑关系.他曾说：“要发明，就得挑选恰当的符号，要做到这一点，就要用含义简明的少量符号表达或比较忠实地描绘事务的内在本质，从而最大限度减少人的思维活动.”现在微积分学中的一些基本符号，例如，等等，都是他创立的.他的优越的符号为以后分析学的发展带来了极大方便.(www.chuimin.cn)

莱布尼茨是著名的哲学家，以“单子论”闻名于世，他的“单子论”与他在数学研究中的微分概念是一脉相承的.著名的哲学家费尔巴哈曾说“近代哲学领域内继笛卡尔和斯宾诺莎之后，内容最丰富的哲学乃是莱布尼茨的哲学.”

3.争论的过程和出人意料的结局

牛顿自17世纪60年代中期就已经在剑桥大学建立了他的流数思想，并独创了自己的符号体系，例如用小零“0”来表示瞬间增量，用x·来表示x的一阶导数（如速度），x··表示二阶导数（如加速度）.牛顿运用微积分使解决复杂的曲线长度、面积和体积问题变得更为简单，而且它还能解决以前不可能解决的变化问题，比如速度和加速度的变化、生长率和衰败率等.但牛顿的成果《无穷级数分析》和其他论文在莱布尼茨发表他的微积分成果时，仍然以手稿的形式尘封着，只在少量的同事中传阅.据说牛顿很不合群，他一直都不愿意公开他的成果以接受外界的评论.新观点出现时，通常会有某种危险，他不想把宝贵的时间投入到应付一些对他的论点空洞的挑战上，他也很可能是因为微积分的逻辑缺陷，为了给自己更多的时间修改他的发现，所以选择深藏不露.

莱布尼茨对数学的研究只是他宏伟事业中的一个“副业”，他是在欧洲多国的访问中接触到众多的数学家才进入当时的主流数学之中，莱布尼茨有可能在1673年从牛顿的同事中看到过牛顿尚未发表的《无穷级数分析》的抄本，而且他还在1676年两次写信给牛顿，请教关于无穷级数和用无穷级数求曲线所围面积的问题，虽然牛顿的回信确实是围绕来信所涉及的微积分中的问题而谈，但牛顿还是非常谨慎地把它们藏在“精心设计的字谜”中，有时也只是间接地提一下这个方法，从来都不会清楚地讲出来.所以当莱布尼茨8年后真的发表了微积分方面的论文时，牛顿不敢相信，莱布尼茨凭一己之力能如此快速地取得这么大的进步.

1684年，莱布尼茨发表他的论文后，瑞士的伯努利兄弟——约翰和雅各布，不仅领会了这个方法，而且还将其投入运用并传授给他人，使莱布尼茨的微积分在欧洲大陆广为传播.

微积分在广为传播之后，很快，大家都明白，这是解决很多自然科学和数学问题的一个新方法，有效且通用，而很多问题在此之前都是无法解决的，对这样的一个重大发现，它的发明权就显得越发重要了.

起初，牛顿和莱布尼茨还是保持着良好的个人关系，但两人众多的追随者们却开始煽风点火，相互攻击，特别是约翰·伯努利，坚定地站在“大名鼎鼎的莱布尼茨”一边，充当莱布尼茨的斗牛犬，他发起的一系列事件使冲突火上浇油，而牛顿的追随者则予以反击，德国人说莱布尼茨是微积分的奠基人，而英国人却坚定地认为牛顿才是微积分的首创人.谁发明了微积分的问题逐渐演变成了一件引起尖锐的民族妒忌的事情，冲突愈演愈烈.

在微积分的发展史上，牛顿是领先的：1665—1666年，莱布尼茨：1673—1676年，毫无疑问，是牛顿首先提出该方法的，牛顿和他的追随者相信他应该获得所有的荣誉.但是问题绝对没有这么简单，首先，确实是莱布尼茨在1684—1686年率先发表的，而牛顿则是在1704—1736年.而且莱布尼茨的符号也是更有优势，我们今天都在使用，而牛顿的记号则被淘汰，只有x··二阶导数至今仍被使用于物理学等领域，所以莱布尼茨的微积分能得到更加广泛的传播.

1703年，牛顿被推举为英国皇家学会主席，开始把莱布尼茨当对手来对待，但是，莱布尼茨的声望也在快速增长中，已经成了他的劲敌.

这里，我们不想再过多地来说其中的争吵过程.就个人而言，作为科学泰斗，皇家学会主席，牛顿在这场斗争中使用了一些很强硬的斗争策略，优势明显，而莱布尼茨，争斗使他在皇家学会和其他地方树敌颇多，也给他的晚年生活蒙上了巨大的阴影，1716年，当莱布尼茨在汉诺威去世时，他的很多宏伟的计划都没有完成，在失意中孤独冷清地离开了人世，而牛顿则享有高寿，声誉卓著，牛顿大获全胜.

但是，如果莱布尼茨活得长一些，他会看到一个完全意外的结果.

虽然莱布尼茨个人在这场争斗中处于下风，然而，更重要的是这场争斗反响极大，影响深远.冲突使英国数学家与欧洲大陆数学家形成两派，关系破裂.整个18世纪，欧洲大陆数学家追随莱布尼茨，并发展了他那书写微积分的绝妙方式，他们完善了微积分，使它成为简单而容易应用的研究工具，取得了飞速的进步和发展，而顽固的英国人则坚持忠于他们的科学领袖，只用牛顿的微积分和他那落后的符号.两派数学家的交流的停滞，致使在牛顿去世后的一百多年中，英国的数学研究进展远远地落在欧洲大陆之后.

这场冲突的最后结论是：莱布尼茨输了这场战役，却赢得了整场战争.

19世纪之后，现代学者们终于抹去了国家和个人的感情因素，认定牛顿和莱布尼茨各自独立创建了微积分.正如所有领域的重要发现一样，它们都属于全人类的事业.

微积分的发展历程：牛顿与莱布尼茨的巅峰对决

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