微积分的逻辑基础-无穷小的奥秘

2023-11-19 理论教育版权反馈

【摘要】：“无穷小”是微分和积分的关键，无论是求瞬时速度，还是求曲线图形的面积，两者的共同点，或是将时间幅度或是将长方形的宽度无限缩小，无穷小不可避免的同时既是0又不是0.小时候我们就曾被诸如0.999…

“无穷小”是微分和积分的关键，无论是求瞬时速度，还是求曲线图形的面积，两者的共同点，或是将时间幅度或是将长方形的宽度无限缩小，无穷小不可避免的同时既是0又不是0.

小时候我们就曾被诸如0.999…与1是否相等的这类问题迷惑过，一方面，数学是精确的科学，0.999…与1总是相差那么一点点，它们当然是不相等的，可另一方面又有0.999…=1，成立的理由是：

方法1：作除法，1除以9，即，

两边各乘以9，得1=0.999….

方法2：设x=0.999…，

则10x=9.999…，

两式相减，得9x=9，即x=1.

其实，这样的困惑在我们刚接触积分的概念时就感觉到了，阿基米德们的直线形与曲线形之间似乎总存在着间隙，而微分，比如求函数xn的导数，我们给x一个微小的非零增量Δx，然后求微商：

到这一步为止，Δx依然被假设为一个非零的量，但是，随后Δx忽然变成了零，所以才有：

而这就是（xn）′=nxn-1的由来.

对于阿基米德们的以直代曲，人们始终没有找到一条途径跨越直线形与曲边形之间的间隙，牛顿的时间增量Δt一下是0一下又不是0，欧拉在x与x+dx之间捉迷藏，人们有样跟样，如法炮制，不可避免地出现了谬误越来越多的混乱局面，数学界的“有识之士”们忍无可忍，指出“微积分是数学巨人，可惜它立于泥土之上”，其中的攻击最有名的当数英国哲学家、大主教乔治·贝克莱，他尖锐地抨击了牛顿流数论在使用无穷小概念上的混乱：“消失的增量究竟是什么呢？……难道我们不能称它们为消逝量的鬼魂吗？”贝克莱对莱布尼茨的微积分也进行了指责，他讥讽莱布尼茨的微积分中一些正确结论是从错误的原理出发通过“错误的抵消”而获取的.贝克莱的攻击，虽然是出于宗教的动机（因为牛顿用流数术取得的一系列的科学成果彻底动摇了地心说的理论），但他的许多批评是切中要害的，在客观上揭露了早期微积分的逻辑缺陷.

对数学而言，“0非0”的推理方法是完全不能被接受的，前后自相矛盾的讨论方式肯定是不允许的，即使微积分在数学上的结果似乎是正确的，微积分应用于科学的实际现象时得到的解答和观测结果也一致，但是，如果基础不牢的话，这种结果依然一文不值.

数学家们试图为微积分的有关概念寻找一个令人满意的基础，直到19世纪，这种坚持不懈的努力，终于带来了一种更富于批判精神的结果.(www.chuimin.cn)

柯西在微积分历史上的影响深远，他处于早期开拓者和现代数学家之间的位置上，微积分的先驱们凭借他们的聪明才智拓展了一个充满直觉与质朴的领域，而后者追求的逻辑标准是严格的、普遍的和不可或缺的.

柯西认为，最好的解决办法是将全部微积分建立在极限思想的基础上，他关于“极限”这个概念的定义是数学上的一个经典：

“当属于一个变量的相继的值无限地趋近某个固定值时，如果最终同固定值之差可以随意地小，那么这个固定值就称为所有这些值的极限.”

柯西以大家熟悉的圆面积为例子：当一个圆的内接多边形的边数无限增加时，多边形面积的极限就是这个圆的面积，自然不会有哪个多边形的面积等于圆的面积，但是，对于任意给定的一个任意小的数，总能够找到一个内接正多边形，它的面积（以及那些边数更多的正多边形的面积）与圆的面积的差总比你事先给定的那个数更小，这个固定值的面积就是所有多边形面积的极限.这就是柯西思想的精髓.

按照柯西的意思，无穷小量不是一个数，它是一个变量，它不是0，但它的极限是0.有了极限这个概念，定积分的定义成为 pagenumber_ebook=170,pagenumber_book=162 ，而导数则被定义为

随后的“灰姑娘”魏尔斯特拉斯又给出了一个新的极限的定义：

，当且仅当对于任意ε＞0，存在一个δ＞0，使得只要就有.

这个定义我们高中生会觉得晦涩难懂，但“反正大学里要学的”，我们不妨先看看，认识一下，另一方面我们对微积分的薄弱之处在这里也做一交代，就算消除大家心中的疑虑吧.魏尔斯特拉斯的定义消除了柯西定义中语言描述的模糊性，这样一个代数的定义，完全不依赖几何的直觉特征，定义的核心是一个关于不等式的断言，数学家可以利用不等式，把这个定义作为证明各种极限定理的基础.至此，微积分的基础和理论也就可以得到像欧几里得命题那样完全严格的证明.

关于微积分的严格的逻辑基础问题，直到1873年（此时离欧拉辞世也将近一个世纪，而距牛顿和莱布尼茨初创微积分已超过两个世纪），经过柯西、魏尔斯特拉斯、戴德金、康托尔等众多数学家的努力，他们填补了一个又一个漏洞，终于把微积分建立在牢固的逻辑基础之上.

到了20世纪，微积分又从两个完全不同的角度做了推广：一是法国数学家勒贝格把积分概念推广到适合更广泛的一类函数，勒贝格积分理论为现代分析奠定了基础；二是鲁滨逊的非标准分析，为微积分提供了另一种描述方式.这些内容都远远超出了我们高中生的学习范围，有待于同学们在大学里继续学习研究.

至此，我们用两次讲座，对微积分的概念发展史做了一个较为详细的了解，我想，这对我们了解微积分、理解微积分、欣赏微积分是大有裨益的.微积分是我们遇到的基础数学的顶峰，也许正是从这里开始，让我们第一次真正领略到数学知识的潜在魅力.

但我并不想就此结束我们的讲座.我们知道，描述微积分基本定理的那个核心公式被冠以牛顿-莱布尼茨公式，这牵涉到数学史上最有名的一段诉讼——牛顿、莱布尼茨微积分发明权之争，因为争论的双方是人类有史以来最杰出的两位天才，科学史学家们曾将他们的争斗形容为“世纪景观”“现代思想史上最重要的现象之一”，在今天这样的一个场合我们不能错过.

微积分的逻辑基础-无穷小的奥秘

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