探秘微积分：被遗忘的数学课中的圣地

2023-11-19 理论教育版权反馈

【摘要】：那就是数学的圣地：微积分.微积分的发明是现代数学取得的最高成就，对它的重要性怎么估计也不过分.恩格斯甚至声称：“在一切理论成就中，未必有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看成人类精神的最高胜利了.”对于数学中的这个“王者”，我们同学们都了解多少呢？微积分从萌芽、创建到完善，经历了两千多年曲折的过程，对这部宏伟画卷所展示出的非凡的魅力，我们又有多少人体会到了？

一个从基础到高等的跨越

一个标杆

今天讲座的主题是《圣地》，顾名思义，我们将去一个非同寻常的地方.

我们小时候学习的数学叫“算术”，与印度-阿拉伯数字打交道；后来我们学会了用字母代表数，通过方程求解未知数，从而进入代数的领域；我们系统地学习了平面几何和立体几何，了解到数学是研究数与形的一门学科，通过欧式几何学会了演绎推理，掌握了数学的核心特点——证明；我们引进变量、函数的概念，建立解析几何，让变量和运动进入数学；我们学习了三角函数，知道了许多“边边角角”的故事……然而，相对于今天我们要去的地方，这些数学分支都算是小儿科了，换句话说，前面所有的知识储备都是为今天我们要研究的领域铺路.

那么，今天我们要去哪里呢？

那就是数学的圣地：微积分.

微积分的发明是现代数学取得的最高成就，对它的重要性怎么估计也不过分.恩格斯甚至声称：“在一切理论成就中，未必有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看成人类精神的最高胜利了.”

对于数学中的这个“王者”，我们同学们都了解多少呢？微积分从萌芽、创建到完善，经历了两千多年曲折的过程，对这部宏伟画卷所展示出的非凡的魅力，我们又有多少人体会到了？(www.chuimin.cn)

我们让微积分的概念“从天而降”，把微积分基本定理轻松捡来，我们津津乐道的是“一阶导数等于零”的好处，我们体验到的是解决复杂图形的求积时的爽快，一句话，我们了解的是一套机械化、程序化的所谓“傻瓜”微积分，这就好像你搭的框架，你砌的墙，你刷了四壁，你装了窗，而我住进去了，房子就是我的了.毫无疑问，在座的同学都将有机会升入大学，当我们很多人在大学系统地学习了《数学分析》，到头来还有可能是“云里雾里”，例如，我仿佛就是这样的人.

20世纪70年代末80年代初，我读高中时，微积分还没有进入高中教材，依稀记得有行列式等高等数学的影子，当时我们多多少少都听说过“微积分”这样一个名词，那是一个令人向往的神奇的领域，因为不考，当然老师也不会教，但我的同学中偏偏有那么一个人，经不住诱惑，高中时自学微积分，晚自习休息时我说，微积分又不考，你学它干吗？这位同学笑着说“反正大学里是要学的”，显然，他的境界要比我们一般的同学高一层，日后他取得的成就也都高于我们.

20世纪90年代末，高中数学课程改革风起云涌，向量、概率、微积分等数学内容纷纷进入高中课程.虽然我在大学里扎扎实实地学习了两年微积分，但对微积分的起源和发展的过程仍然知之甚少，对“文化层面上的微积分”和“魅力微积分”毫无感觉，仍停留在会用“微积分”不懂“微积分”这样的一个层面上，所以毕业后我在中学教微积分时总感觉有点怪怪的.自己没真正弄懂，学生又如何能懂？这次微积分讲座，我打算向大家做一概括性的介绍，重点在基本概念的理解和微积分产生的历史背景，而不在于形式的处理和运算的技巧上.

我试图多懂得一些，以使自己站在更加坚实的基础之上，但微积分是全世界顶级数学家花了两千多年苦心经营建立起来的一个完善的系统，她哪里又是那么好弄懂的？

为了这次讲座，准备的时间是最长的，但此时此刻，心里仍是忐忑的，好啦（深吸一口气），让我们开始吧！

数学的进程，很多东西并不是按我们现在学习的顺序来发展的，比如前面我们讲的对数的起源，若ab=N（a＞0，a≠1），则b叫作以a为底的N的对数，记作b=logaN.这就是欧拉“对数源出于指数”的定义，但我们知道，纳皮尔对数发明的时候，指数作为一个概念还未建立呢.

微积分的发展也重演了类似的一幕.欧拉指出，积分是反微分，积分从属于微分.微积分教材的编排也是先讲微分，再讲积分，而这可能正是我们学习微积分后不懂微积分的起点，沿着历史发展的脉络和理解的需要，我们先从积分开始.

探秘微积分：被遗忘的数学课中的圣地

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