被遗忘的数学课：英国数学家安德鲁·怀尔斯的辉煌成果

安德鲁·怀尔斯1953年出生在英国剑桥，父亲是一位工程学教授.少年时代的怀尔斯着迷于数学，非常喜欢做题目，常常把在学校里做的数学题带回家，编写成自己的新题目.怀尔斯10岁时在弥尔顿街上的社区图书馆看见了一本书，这本书只有一个问题，但没有解答，怀尔斯被吸引住了.这就是E.T.贝尔写的关于费马大定理的书——《大问题》，这个问题让一个又一个的数学家头疼，在长达300多年的时间里没有人能解决它，但它看上去又是如此的简单，以至于一个10岁的孩子都能理解，从那一刻起，怀尔斯就知道自己永远不会放弃它.他童年时代和成年时期的梦想就是解决这个问题.

1974年，21岁的怀尔斯毕业于牛津大学默顿学院，作为世界名牌大学数学专业的一名本科毕业生，当他确认费马懂得的数学并不比自己懂得多的时候，他似乎看到了一个成功的机会，虽然一代代的数学家在这个机会面前都失败了，但年轻的怀尔斯天真地认为，也许他会碰巧找到一个别的世故得多的学者没有注意到的证明.鼓舞他的是基于这样的认识：过去有过几种情形的证明是经过一百多年的努力才最终被发现的，而且其中有一些情形，解决问题的那种洞察力的闪现并未依靠新的数学.也就是说存在这样的一种可能性，证明费马大定理所需的全部技术是现成的，而唯一缺少的是灵感和运气.

尽管他充满激情，绞尽脑汁，翻遍了他能找到的所有相关的材料，但依然一无所获，每一次的计算都以失败告终.

经过无数次的失败之后，他改变了策略：认为他也许能够从那些更为高明的数学家的错误中学到一些有用的东西，费马大定理有这么多难以置信的传奇性的经历，他应该研究那些方法，并且设法理解他们一直在做的那些工作.

1975年，怀尔斯开始了他在剑桥大学的研究生生活，在以后的几年时间里，他将致力于他的博士学位论文，以这种方式接受数学训练，每个研究生由一位导师指导和培养，怀尔斯的导师是澳大利亚人约翰·科茨.

在过去的岁月里，怀尔斯所做的每一件事都是为迎接费马的挑战做准备的.其实，任何研究生在这个阶段直接开始研究费马大定理都是不可能的.因为即使对资历很深的数学家来说，它也是太困难了.因为就当时的全部数学技术而言，它已经被反复用了几百年.这些技术似乎没有真正地触及问题的本质所在.

更加成熟的怀尔斯明白，他必须更讲究实际一些.寻求费马大定理的证明已经从一个孩子的梦想转变为成熟的追求.他准备暂时把费马搁在一边.在精通19世纪数学中所有需要掌握的东西后，怀尔斯决定用20世纪的技术来武装自己.

安德鲁·怀尔斯在剑桥的研究生学习，对他今后的发展至为关键，导师科茨的责任是设法把他推向一个富有成果的方向，导师作为年长的数学家在这个过程中能做的是利用他的经验和对何为好的领域的直觉，至于学生在这个方向上能有多大成就那就是他自己的事了.科茨决定让怀尔斯研究数学中的椭圆曲线领域，这个决定后来证明是怀尔斯职业生涯的一个转折点.

自从安德鲁·怀尔斯发现那本激励他去迎接费马挑战的图书馆的书以来，已经20多年过去了，在1986年夏末的一个晚上，怀尔斯听说肯·里贝特已经证明了谷山-志村猜想与费马大定理之间的联系，第一次，他望见了一条实现他童年梦想的道路.师从约翰·科茨在剑桥取得博士学位后，怀尔斯横渡大西洋来到普林斯顿大学，他已经是这所世界著名大学的教授了，多亏科茨的指导，怀尔斯或许比世界上的任何人都更懂得椭圆方程，但他同时也很清楚地意识到，即使以他广博的基础知识和数学修养，前面的任务依然是极为艰巨的.

当时，所有的数学家对存在于费马大定理与谷山-志村猜想之间的美妙的链环能否实际产生有用的东西持悲观态度，过去希尔伯特曾说他没有那么多时间去浪费在一件可能会失败的事情上，怀尔斯的导师科茨也承认自己有生之年大概是不可能看到它被证明的，但是怀尔斯准备冒这个风险.

怀尔斯阅读了所有有关的最新杂志，然后反复地操练最新的技巧方法，直到它们成为他的第二本能为止.为了为将来的战斗收集必要的武器，怀尔斯花了18个月的时间使自己熟悉以前曾被应用于椭圆方程或模形式的以及从它们推导出来的全部数学，这些都是必需的，他全面地评估过，任何对这个证明的认真的尝试都需要花费几年的专心致志的努力.

怀尔斯放弃了所有与证明费马大定理无直接关系的工作，任何时候只要可能，他就躲进他顶楼的书房，尝试使已经掌握了的那些技巧变得更有力量，他希望制订出对付谷山-志村猜想的策略.

从他开始着手证明的时刻起，怀尔斯就做了一个重大的决定：要完全独立和保密地进行研究，部分原因是他希望自己的工作不受干扰，另一个动机是对荣誉的渴望，他不想和其他任何人分享他童年的梦想.

为了证明费马大定理，怀尔斯必须证明谷山-志村猜想：每一个椭圆方程可以相关于一个模形式.怀尔斯对遇到的巨大困难有非常清醒的认识，最天真的尝试（并且也确实尝试过）就是去“数”一下有多少个椭圆方程，再“数”一下有多少个模形式，然后证明它们个数相同而且能一一对应.但是迄今还没有找到任何一种做这件事的简单方法，因为它们都有无穷多个，而你是无法数无穷多次的，就是有计算机来帮忙也没有什么用.这里需要的是一个能有效地说明理由并解释为什么每一个椭圆方程必定是可模式化的步步相连接的逻辑论证，怀尔斯只能靠一张纸、一支笔和他的头脑来寻找证明.

基本上所有的时间里萦绕在他脑海中的就是这件事.早晨醒来想到的第一件事就是它，然后整天一直在思考它，在梦中也会思考它.只要没有分心的事，就会整天一直在脑海中翻来覆去想这同一件事.

经过一年多的仔细思考，怀尔斯决定采用“数学归纳法”作为他证明的基础.我们知道数学归纳法是一种有效的证明形式，它为数学家提供了一种对付无限多个情形的方法.

数学归纳法是一个两步过程：

（1）证明命题对第一个情形是对的；

（2）证明命题如果对任何某一个情形是对的，那么它一定对下一个情形也是对的.

为了证明谷山-志村猜想，数学家们必须证明：无限多个椭圆方程中的每一个都可以和无限多个模形式中的某一个配对，反之亦然.虽然他们曾成功地证明了某一个椭圆方程的全部DNA（E-序列）可以与一个模形式的全部DNA（M-序列）相配，但是还没有人找到一种能对无限多个椭圆方程和模形式反复地重复这个过程的方法.

怀尔斯以一种不同的方式来对付这个问题，他不去尝试将某个E-序列和一个M-序列的所有元素配对起来，然后再转到一个E-序列和M-序列.他设法将所有的椭圆方程（模形式）拆解成无限多个项，且这些项的排列有自然的次序（这种自然的次序是归纳法证明的前提）然后他证明了由所有椭圆方程构成的无限多的项中的第一项必定是模形式的第一项，从而推倒了第一块多米诺骨牌，接下去的是进一步研究会引起所有的多米诺骨牌倒塌的技术.

怀尔斯的“伽罗瓦策略”使他走出了第一步，这本身是一个突破性的工作，达到这个程度花了两年的时间，至于还需要多少时间才能找到进一步推进证明的方法，怀尔斯心里也没有数，但怀尔斯相信，自己已走在解决费马大定理的正确的道路上.

1988年，《纽约时报》《华盛顿邮报》宣称东京大学38岁的宫冈泽一已经发现了费马大定理这个世界头号难题的证明.怀尔斯大吃一惊.当时宫冈还没有发表他的证明，只是在波恩的马克思·普朗克数学研究所的一次报告会上描述了证明的概况，宫冈描述了他是怎样从微分几何这一全新的角度出发来处理这个问题的.

70年代，俄罗斯数学家试图在微分几何与数论之间建立相对应的关系，这也是朗兰兹纲领的一个组成部分.当时数学家们相信，通过研究xn+yn=zn中与不同的n值相联系的几何形状，可能会在证明大定理的方向上取得进展.

宫冈的处理方式和怀尔斯的处理方式相同之处在于他们都试图通过把大定理与另一个不同数学领域中的内容联系起来加以证明，这个数学领域在宫冈的情形中是微分几何，而怀尔斯选择的是椭圆方程和模形式.对怀尔斯来说，不走运的是，正当他在为证明谷山-志村猜想而努力时，宫冈领先一步宣布了他关于大定理的一个完整的证明.

宫冈公布了他的成果后，数学界对它的详尽研究就开始了.世界各地的数论家和微分几何学家逐行逐行地审查这个证明，寻找逻辑中最细微的缺陷和错误演算的蛛丝马迹，不久就有几位数学家察觉到了证明中似乎存在令人担心的矛盾，宫冈的证明中有一部分会引出微分几何学中的一个特别的结论，而这个结论转换回数论中时，与一个早些年已经证明了的结果是矛盾的.宫冈本质上是一位几何学家，他没能做到绝对严格地将他的思想转换到他不够熟悉的数论领域.一支数论家的大军试图帮助宫冈补救错误，但他们的努力没有成功.

2个月后，审核的一致意见是宫冈的证明是失败的.

像过去也有过的几次失败的证明一样，宫冈还是做出了新的有趣的数学成果，他的证明中的许多独特的部分，作为微分几何在数论中的精妙的应用，具有极大的价值.

对费马大定理的喧闹不久就结束了，这个300多年的谜依然昂首挺立，没有人知道，这时的怀尔斯终于松了一口气，费马大定理仍然没有被征服.他又可以继续他的通过谷山-志村猜想来证明费马大定理的战斗了.

大部分时间，怀尔斯都会在他的顶楼书桌旁进行演算，有时候他会把问题归结为一种非常特别的某种东西——一条线索，某种就在脑海中但却不能真正指出它的奇怪的东西，这时他会出去沿湖边散步，走着的时候能够更专心地思考问题的某一个非常特别的方面，全身心地贯注于其中.他总是随身准备好一支笔和一张纸，如果有了一个想法，就能在湖边长凳上坐下，并飞快地写下去.

到1990年，在其中探索了差不多两年之久，他仍然无法证明：如果椭圆方程的某一项是模形式的项，那么下一项也应如此.将公开发表的文献中的各种方法和技术都尝试过后，他发现它们都不足以解决问题，尽管怀尔斯相信他的思路是正确的，但这并不意味着他一定能达到目的.

怀尔斯并不气馁，他又坚持了一个年头，并开始研究一种称为伊娃沙娃理论的技术.伊娃沙娃理论是分析椭圆方程的一种方法，怀尔斯在剑桥当科茨学生时已经学习研究过，虽然这个方法本身不足以解决问题，但他希望能够修改它，使它变得足够有力，能产生多米诺骨牌效应.

到1991年夏天，怀尔斯感觉到他改进的伊娃沙娃理论已经很漂亮了，只是当他再一次查遍了所有的文献，仍然找不到一种可替代的技术帮助他实现他所需要的突破.

在普林斯顿大学当了5年隐士以后，他觉得，现在是重返数学圈以便了解最新的数学研究成果的时候了，或许某地的某人正在研究一种创造性的新技术.在出席一个关于椭圆方程的重要会议上，他从导师科茨那里了解到，一个名叫马瑟斯·弗莱切的学生正在进行关于椭圆方程的极有价值的研究.起先，科利瓦金教授设计了一种处理椭圆方程的强有力的数学方法，而弗莱切将它进一步改进，使它更具潜力，逐步发展成了一种被称为科利瓦金-弗莱切方法，理论上，这个新方法可以将怀尔斯的论证从椭圆方程的第一项扩展到椭圆方程的所有项，并且有可能对每一个椭圆方程都有效，只是他们两个人谁也没有意识到怀尔斯打算把他们的工作用到世界上最重要的证明中去.

怀尔斯把一直在试用的旧的处理方法丢在一边，夜以继日地专心致志于熟悉科利瓦金-弗莱切莱切方法，然后开始改造和拓展它.不久，对一种特殊的椭圆方程他可以使归纳法证明奏效，但对另外的情形则不一定行得通.怀尔斯最终认识到可以把所有的椭圆方程分类为不同的族，一旦科利瓦金-弗莱切方法经修改后对某个椭圆方程奏效，那就对那一族中所有的椭圆方程都奏效.怀尔斯的任务是要改造科利瓦金-弗莱切方法，使得它对每一族都能奏效，虽然有些族比较难对付，怀尔斯却坚信他能按自己的方法一个接一个地解决它们.

经过6年的艰苦努力，怀尔斯相信自己已经胜利在望.每个星期他都有进展，证明了更新、更大族的椭圆曲线一定是可以模形式化的，而做完那些尚未解决的椭圆方程只是时间问题.

在证明的最后阶段，怀尔斯清醒地认识到，他的整个证明最后依靠的是利用他几个月前刚刚发现的技术，它涉及许多复杂的怀尔斯并不真正熟悉的方法，其中有许多艰深的代数需要了解和研究.他开始对自己是否是以一种完全严格的方式使用科利瓦金-弗莱切方法没有把握，他需要和某个人一起讨论这一部分，他需要确保它是正确的.

怀尔斯决定有必要向一个人吐露秘密，这个人应该是一位怀尔斯正在使用的那一类几何方法方面的专家，而且他还能坚守秘密，怀尔斯选择了普林斯顿大学数学系的尼克·凯兹.

他们觉得最好的策略是宣布举行一系列面向系里的研究生的讲座，怀尔斯将讲授一个课程，而凯兹将会是听众之一，这个课程将包括需要核对的那部分证明，但是研究生们是不会知道这秘密的.讲座迫使怀尔斯一步接一步地去解释每一件事，就其他人而言，这只不过是一门平常的研究生课程，他们以这种方式将核对证明这件事伪装起来.

怀尔斯开始做最后的冲刺，专心致志于努力完成证明.他成功地将科利瓦金-弗莱切方法应用于一族又一族的椭圆方程.到最后，只剩下一族椭圆方程拒绝向这个方法让步.怀尔斯描述了他怎样试图完成证明的最后一步：

“5月末的一个早晨，我坐在书桌旁思考着这剩下的一族椭圆方程.我随意地看了一下巴里·梅休尔的一篇论文，恰好其中有一句话引起了我的注意.它提到一个19世纪的构造，我突然意识到我应该能够使用这个结构来使科利瓦金-弗莱切方法也适用于这最后的一族椭圆方程，我一直工作到下午，忘记了下楼吃午饭，到了大约下午三四点钟的时候，我真正地确信这将解决最后剩下的问题，当时已到饮茶休息的时候，我走下楼去，妻子非常惊奇我来得这么迟.然后我告诉她——我已经解决了费马大定理.”

经过7年的专心努力，怀尔斯完成了谷山-志村猜想的证明.作为一个结果，经历了30年对它的梦想，他也证明了费马大定理.现在是将它向全世界公布的时候了.

1993年5月，怀尔斯确信他已经完全掌握了整个费马大定理，本来他想再核对一下证明，但是6月末在剑桥有一个会议要举行，也许是宣布这个证明的好地方，剑桥是怀尔斯的家乡，他曾经是那里的一个研究生.

会议在牛顿研究所举行，组织者之一是怀尔斯的博士生导师约翰·科茨.这里聚集了来自世界各地对数论有广泛研究的人，组织者给了怀尔斯两次演讲的时间，但当得知怀尔斯有某个大结果要宣布时，科茨把自己演讲的时间也给了怀尔斯.这样，怀尔斯共有3次演讲的机会.

数论方面最杰出的人物开始一个接一个地来到牛顿研究所，其中包括肯·里贝特，正是他1986年的杰出工作鼓舞着怀尔斯经受了7年的严峻考验.巴里·梅休尔也来了，怀尔斯将证明影印件给了他，请他一起来核对这个证明.

人们开始听到关于安德鲁·怀尔斯的系列演讲的神秘传闻，传闻说他已经证明了费马大定理，谣传四处扩散，特别是通过电子邮件扩散，然而，经验证明你不必过分相信它们，数学界这样的情形已发生了好几次了.

回顾1920年，当时58岁的大卫·希尔伯特在哥廷根做了一个关于费马大定理的公开演讲.当被问及是否这个问题会被解决时，他回答说他可能活不到看见这一天，但是也许在座的年轻人会亲眼看到答案.希尔伯特对解答日期所做的估计证明是比较准确的，怀尔斯的演讲和沃尔夫斯凯尔奖在时间上也很接近，保罗·沃尔夫斯凯尔规定的截止日期为2007年9月13日.

怀尔斯的系列演讲的标题为《模形式、椭圆曲线和伽罗瓦表示》，演讲的题目是如此的朦胧，一点也没有透露出这个演讲的最终目的是什么.怀尔斯第一次演讲显然是一般性的，目的是为在第二次和第三次解决谷山-志村猜想做准备工作，大部分人对这个演讲的重要性并不理解.

知道稍许内情的人则寻找着有可能使谣传可信的哪怕是极细微的一点线索.

第二天，更多的人听到了一些流言蜚语，因此第二次演讲的听众大量地增加.怀尔斯讲了过渡性的演算，这些演算表明他准确的意图是要解决谷山-志村猜想，但是听众仍然搞不清楚他是否已经做到足以证明它并进而征服费马大定理.新的一大堆电子邮件通过卫星发送到世界各地.

6月23日，怀尔斯开始了他的第三次也是最后一次的演讲，值得注意的是每一个对促成这个证明的那些思想做出过贡献的人实际上都在现场的大厅里，包括梅休尔、里贝特、科利瓦金以及许许多多的人.(www.chuimin.cn)

在那个时候，谣传已经达到如此逼真的程度，以致剑桥数学界的每一个人都来听这最后一次演讲，当时的气势充满了激情，人们非常兴奋.大家肯定意识到了自己正在参与一个历史性的事件.

经过7年的努力，怀尔斯准备向世界宣布他的证明了.美妙的时刻即将到来，听众中很多人拍摄了演讲结束时的镜头，研究所所长肯定事先就准备了一瓶香槟酒.当怀尔斯宣读证明时，会场上保持着特别庄重的寂静，随着怀尔斯在黑板上写完费马大定理，随着怀尔斯的最后一句“我想我就在这里结束”，会场上爆发出一阵持久的掌声.

数学家们通过电子邮件传诵着好消息，大批记者来到牛顿研究所要求采访“20世纪最杰出的数学家”，向听过演讲的专家请教他们对怀尔斯的工作的专家意见.尚未从震惊中恢复过来的教授们被要求对这个迄今最复杂的数学证明做简短的解释，或提供能阐明谷山-志村猜想的谈话.

奇怪的是，怀尔斯对演讲有一种矛盾的心理，显然，牛顿研究所的演讲是一次难得的机会.但他的心情很复杂，7年来，这个问题已成为他的一部分，它一直是怀尔斯整个的工作所在，他是如此投入这个问题，真实地感到了自己与它密不可分，但是现在他失去了它，就如同放弃了自己一样，感觉世界一下子空了.

志村教授是在阅读《纽约时报》的头版报道——《终于欢呼“我发现了”久远的数学之谜获解》时第一次了解到有关对他自己的猜想的证明，在他的朋友谷山丰自杀30年后，他们一起提出的猜想现在被证明是正确的.在许多专业数学家看来，证明谷山-志村猜想是比解决费马大定理更为重要的成就，因为它对许多别的数学领域有深远的影响.费马大定理的证明仅仅是他的一个小小的推论而已，但报道这一事件的外行记者们则将注意力集中于费马，即便要提也只是顺便地提到一下谷山-志村.

数学家第一次占据头条新闻，一夜之间，怀尔斯变成了世界上最著名的数学家，《人物》杂志甚至将他与戴安娜王妃一起列为“本年度最具魅力的人”之一，国际制衣的品牌企业请这位温文尔雅的天才为他们的新系列男装做广告.

在各种媒体继续报道和数学家们成为注意的中心的同时，认真核对这个证明的工作也开始了，与所有的科学学科中的做法一样，每一个新的成果必须经过仔细的检查才可能被承认是准确和正确的.怀尔斯的证明必须经受审查者的严格审查.虽然怀尔斯在牛顿研究所的演讲已经向世界提供了他的演算纲要，但这不能作为正式的审查.科学的程序要求任何数学家将完整的手稿送交一个有声望的刊物，然后这个刊物的编辑将它送交一组审稿人，他们的职责是逐行地审查证明.怀尔斯只能焦急地度过一个夏天，等待审稿人的审稿意见.

怀尔斯将他的手稿投至权威杂志《数学发明》，它的主编巴里·梅休尔立即开始挑选审稿人的工作，怀尔斯的证明洋洋洒洒共200页，论文涉及大量的数学方法，既有古代的也有现代的，梅休尔做出了一个特别的决定，不是像通常那样只指定2个或3个审稿人，而是6个审稿人.每年全世界各种杂志上发表的论文约有3万篇，但是怀尔斯的论文无论是它的篇幅还是它的重要性都表明，它必须经受最严格周密的审查.200页的证明被分成6部分，每一位审稿人负责其中一部分.

怀尔斯的证明是一个特大型的论证，由数以万计的数学计算通过数以千计的逻辑链环错综复杂地构造而成，只要有一个计算出差错或一个链环没衔接好，那么整个证明将极有可能失去其价值.

第3部分（共70页）由尼克·凯兹负责审查，他是最先知道怀尔斯秘密的那个人，凯兹邀请其他的数学专家一起，组成一个合作审查班子，他们每周碰头几次，互相讲解，设法弄懂这一部分.准确地说，他们要逐行审阅原稿，以确保不存在任何错误.有时候有些东西搞不清楚，凯兹就会发电子邮件告诉怀尔斯某个问题——不理解论文这一页上讲的东西，或者这一行似乎是错的，等等.通常在同一天或隔一天会得到怀尔斯澄清这件事的回答，然后审稿班子就继续下一个问题.

怀尔斯中断了普林斯顿的日常工作，专心处理审稿人在电子邮件中提出的问题，怀尔斯自信这些问题不会造成很大的麻烦.因为在将证明交给审稿人之前，他已经一再核对过了.因此，除了由语法或打印错误造成数学上的错误以及一些马上能够改正的小错误外，他相信不会有什么大的问题了.

8月23号左右，凯兹发电子邮件给怀尔斯，这次的问题稍微复杂一点.怀尔斯发回一份传真，但传真似乎没有回答问题，凯兹又发电子邮件，怀尔斯发回另一份传真，不过凯兹仍然不满意.

怀尔斯认为这个错误就像所有别的错误一样浅显简单，但是凯兹的执着态度迫使他认真地加以考虑.一个月后，怀尔斯开始认识到这完全不是一个无足轻重的困难，而是一个重大的缺陷.它是在与科利瓦金-弗莱切方法有关的论证的关键部分中的一个错误，但是它是如此的微妙，以至在这之前怀尔斯完全忽略了它.这个错误很抽象，无法用简单的术语真实地描述它，即使是向一个数学家做解释，也需要这个数学家花两三个月时间详细地研究那部分原稿.

这个问题的实质是，无法像怀尔斯原来设计的那样保证科利瓦金-弗莱切方法行得通.原本期望能将证明从所有的椭圆方程和模形式的第一项扩展到包括所有的项，这样就提供了将多米诺骨牌一块接一块推倒的方法.原始的科利瓦金-弗莱切方法只在有特殊限制的情形下才有效.但怀尔斯相信他已经将它改造并加深到足以适合于他的所有需要.但在凯兹看来，情况并不一定如此，这个后果是戏剧性的，有很大的破坏性.

这个错误不一定意味着怀尔斯的工作无法补救，但它的确意味着他必须加强他的证明.

怀尔斯相信科利瓦金-弗莱切方法只需作一点儿调整，只需小规模地修改它，它就会很好地起作用.也许补救的办法可能就在近旁，他只是忘记了某件简单的事，也许第二天一切都会完美的.

然而，事情并没有像怀尔斯想象的那样发生，相反，随着时间的推移，问题似乎变得越来越棘手.

怀尔斯决定直接回到他过去的状态，完全与外面的世界隔绝，他必须重新聚精会神起来.不过，这一次是在困难得多的情况下，全球的报刊已经把怀尔斯誉为世界上最杰出的数学家，外面的世界风起云涌，怀尔斯处于风口浪尖上.

秋季来临时稿件仍然还未通过，关于证明有问题的议论开始流传.怀尔斯的证明有一个或更多个缺陷，这种缺陷指的是瑕疵、裂缝、大深沟还是地狱？

有经验的数学家呼吁保持平静，好让正在仔细核对证明的那些非常有能力的审核人安心做他们的事.一个重大发现的问题常常是出现在检验证明的过程中，对于一个通过漫长的艰难证明得到的如此重要的成果，如果不出现曲折那倒是令人惊奇的.

在外界对他的证明迟迟不露面产生的疑虑日益增长的同时，怀尔斯尽力不理睬争论和推测，他确实需要完全地与世隔绝，将精力全部集中于那个问题.但是，每次他修改了计算中的这一部分，它就会引起证明中其他部分的某种别的困难.这就像在一个房间里铺放一张比房间大的地毯那样，怀尔斯可以使地毯贴合任何一个角落，但一定会发现地毯在另一个地方又鼓了起来.

怀尔斯认识到，这个缺陷的解决办法并不是唾手可得的，经过一个凄凉失败的秋季后，他把希望寄托在“不远的将来”.

报刊再一次对这件事大做文章，这使数学家们回想起1988年宫冈失败的证明，历史正在重演，数学家们现在正等待着下一份电子邮件解释为什么证明的缺陷是无法挽救的.少数数学家在夏季就对证明表示过怀疑，现在他们的悲观似乎已经被证明是有理由的.

6个月过去了，证明已破绽百出，多年的秘密演算给他带来的愉悦、激情和希望被烦恼和失望替代，童年的梦想仿佛已经变成一场噩梦.

世界各地的数论家们对怀尔斯的处境表示同情.很多数学家也曾经历过同样的噩梦.当你认识到自己犯了一个基本的错误并且没有办法补救它时，会有一种往下沉的感觉.当一个漏洞变大时，很可能定理真的就彻底地崩溃了，因为你越是想补上它，你遇到的麻烦就越多.

对于童年时代的恋情和7年的暗中相伴，怀尔斯决定决不放弃它，当他看到这些论证可能改变整个数学的方向时，一种使命感鼓舞着他.怀尔斯重新回到他做出原先那个证明时的孤独状态，恢复了他在自己的顶楼里认真研究的习惯，偶尔他也会在普林斯顿湖边闲逛，就像他过去所做的那样.那些以前经过他身旁时只简单地挥手致意的慢跑者，骑自行车的人和划船人，现在都会停下来问他那个缺陷是否有所改进.去年夏天怀尔斯成为世界上第一号数学名人，可是现在他的形象似乎正在失去光彩.

渐入严冬季节，突破的希望已成泡影，怀尔斯已经把几十种可能会巧妙地改正这个错误的办法都用上了，但还是看不到有什么可能的解决办法.

怀尔斯向彼得·萨纳克承认情况已面临绝境.萨纳克则向他表示困难的一部分来自怀尔斯缺少一个他可以信赖的进行日常讨论的人.没有他能够与其探讨想法的人，也没有能够鼓励他利用一些侧面处理方法的人.萨纳克建议怀尔斯寻找一个他信得过的人，再试一次弥补这个缺陷.怀尔斯需要一位能运用科利瓦金-弗莱切方法的专家，而且这个人还要能够对问题的细节保守秘密，对经过长时间的考虑后，怀尔斯决定邀请剑桥大学的理查德·泰勒到普林斯顿和他一起工作.

泰勒是负责验证这个证明的审稿人之一，也是怀尔斯以前的学生.去年他曾坐在牛顿研究所的听众席上注视着他以前的导师讲述这个证明，现在帮助挽救出差错的证明成了他的使命.

到1月份，在泰勒的帮助下，怀尔斯再一次孜孜不倦地使用科利瓦金-弗莱切方法，试图补救证明中的缺陷，偶尔经过几天的努力之后他们会进入新的境地，但是最终他们发现又回到了他们出发的地方.在经历了比以前更为深入的探索并一再失败以后，他们俩都认识到他们处在一个无比巨大的迷宫的中心，使他们感到恐惧的是这个迷宫无边无际且没有出口，他们可能将不得不在其中做无目的、无休止的徘徊.

就在1994年的春季，就在事情看起来像是糟到极点的时候，一封电子邮件突然出现在世界各地的计算机屏幕上.邮件声称哈佛大学的诺姆·埃尔基斯教授宣布了一个反例，证明了费马大定理是不成立的！早在1988年，埃尔基斯就以发现欧拉猜想的一个反例而著称.这对怀尔斯是一个致命的打击——他无法修改好证明的原因原来在于所谓的错误是费马大定理的不正确直接造成的后果.对整个数学界，它甚至是更大的打击，因为费马的一个反例也间接地发现了谷山-志村的一个反例.谷山-志村猜想的消亡将会在数论中产生破坏力极大的影响.因为20多年来数学界已经默认它是对的，成千上万以“假设谷山-志村猜想是对的”为开头的证明，埃尔基斯的反例，使所有的那些证明一股脑儿都崩溃了.

数学家们立即开始向埃尔基斯发生连珠炮似的问询，但是都没有回音，关于他为什么保持沉默也没有任何解释.数学家重新审视这份邮件，发现最初的那份邮件的发出日期是4月1日，这份电子邮件是加拿大数论家亨利·达蒙设计的叫人上当的愚人节式的恶作剧.

整个夏季怀尔斯和泰勒没有取得进展，经过8年不间断的努力和一生的迷恋，怀尔斯准备承认失败，他告诉泰勒他看不出继续进行修改他们的证明的尝试有什么指望.泰勒原先的计划在普林斯顿过完9月份然后回剑桥.因此他不顾怀尔斯的泄气，建议他们再坚持一个月.如果到9月底还没有什么能修改好的迹象，那么他们就放弃，公开承认他们的失败并发表那个有缺陷的证明，以便其他人有机会研究它.

虽然怀尔斯与世界上最难的数学问题的搏斗似乎注定要以失败告终，但是当他回顾过去的7年的奋斗，仍然为自己工作中的大部分成果仍然是有效的而感到宽心.首先，怀尔斯对伽罗瓦群的使用已经使所有的人对这个问题有了一种新的见解，他已经证明每一个椭圆方程的第一项可以与一个模形式的第一项配对，然后，面临的挑战就是证明如果椭圆方程的某一项是模形式的项，那么他后面的项也同样如此，其后的几年里，怀尔斯仔细考虑过扩展这个证明的想法，他当时试图通过伊娃沙娃理论，希望能证明如果第一块多米诺骨牌倒塌，那么所有的多米诺骨牌都会倒塌.开始时，伊娃沙娃理论似乎非常有效，足以产生所需要的多米诺效应，但最终未能完全实现他的期望，两年的努力却走进了一条数学的死胡同.

一年之后，怀尔斯在1991年夏天发现了科利瓦金-弗莱切方法，他放弃了伊娃沙娃理论而采用这个新的技术.第二年他在剑桥宣布了他的证明，他被称颂为一位英雄，然而，不到两个月，科利瓦金-弗莱切方法被发现是有缺陷的.此后情况只是变得更坏，任何修改科利瓦金-弗莱切方法的企图都失败了.

除了涉及科利瓦金-弗莱切方法的最后一部分外，怀尔斯的全部工作仍是很有价值的，虽然还没有证明谷山-志村猜想和费马大定理，但他给数学家们提供了一大套新的技术和策略，他们可以用来证明别的定理.怀尔斯的失败绝不是羞耻的事，他开始适应受到打击后的境遇.

虽然失败了，但最后怀尔斯想，至少要了解失败的原因.当泰勒重新探索和检验一些替换的方法时，怀尔斯决定9月份最后一次检视一下科利瓦金-弗莱切方法的结构，试图确切地判断出它不能奏效的原因.他生动地回忆起那个最后的决定性的日子：

“9月19日，一个星期一的早晨，当时我坐在桌子旁，检查着科利瓦金-弗莱切的方法，这倒不是因为我相信自己能使它行得通，而是我认为至少我能够解释为什么它行不通，突然间，完全出乎意料，我有了一个难以置信的发现，我意识到，虽然科利瓦金-弗莱切方法现在不能完全行得通，但是我只需要它就可以使我原先采用的伊娃沙娃理论奏效，我认识到科利瓦金-弗莱切方法中有足够的东西使我原先的3年前的工作中对这个问题的处理方法取得成功，所以，对这个问题的正确答案似乎就在科利瓦金-弗莱切的废墟之中.”

单靠伊娃理论不足以解决问题，单靠科利瓦金-弗莱切方法也不足以解决问题，它们结合在一起却可以完美地互相补充，这是怀尔斯永远不会忘记的完满灵感的瞬间，当他后来详细叙述这些时刻时，记忆如潮澎湃，激动的泪水夺眶而出.

“它真是无法形容的美；它又是多么简单和明确，我无法理解我怎么会没有发现它，足足有20多分钟我呆望着它不敢相信.然后到了上午我到系里转了一圈，又回到桌子旁指望搞清楚情况是否真是这样.当最终确认情况就是这样时，我无法控制自己，这是我工作经历中最重要的时刻，我所做的工作中再也没有哪一件事会具有这么重要的意义.”

这不仅仅是圆了童年时代的梦想和8年潜心努力的终极，而且是怀尔斯在被推到屈服的边缘，绝地反击向世界证明了他的才能.这最后的14个月是他数学生涯中充满了痛苦、羞辱和沮丧的一段时光，现在，一个高明的见解使他的苦难走到了尽头.

这一次对证明不再有任何怀疑了，整个论证的概要与在剑桥描述的处理方法相比要大为简单和快捷.第一篇论文《模椭圆曲线和费马大定理》宣布了费马大定理的证明，它的关键的一步有赖于第二篇论文《某些赫克代数的理论性质》，两篇论文共130页，是历史上核查得最彻底的数学稿件，最终发表在《数学年刊》上（1995年5月）.

在怀尔斯经受严峻考验的8年中，他实际上汇集了20世纪数论中所有的突破性工作，并把它们融合成一个有力的证明.他创造了全新的数学技术并将它们和传统的技术以人们从未考虑过的方式结合起来，开辟了处理为数众多的其他问题的新思路.对费马大定理的证明是人类智力活动的一曲凯歌.

通过谷山-志村猜想，怀尔斯将椭圆曲线和模形式统一了起来，这种做法为数学提供了实现许多别的证明的捷径——一个领域中的问题可以通过并行领域中的对应的问题来解决，怀尔斯的工作使宏伟的罗伯特·朗兰兹的统一计划——朗兰兹纲领跨出了关键的一步，给朗兰兹雄心勃勃的计划注入了生命力.

在科学记者们颂扬怀尔斯对费马大定理的证明的同时，他们当中几乎没有人对与它密不可分地关联着的谷山-志村猜想的证明发表过评论，他们当中也几乎没有人费神提及谷山和志村五郎的贡献，这两位日本数学家早在20世纪50年代就为怀尔斯的工作播撒了种子，虽然谷山丰在30多年前已经自杀，他的

同事却目睹了他们的猜想被证实，当被问及对这个证明有何感想时，志村微微一笑，以克制和自尊的态度平静地说：“我对你们说过这是对的.”

1997年6月27日，安德鲁·怀尔斯收到了价值5万美元的沃尔夫斯凯尔奖金.费马和怀尔斯再一次成了世界各地的头版新闻.

怀尔斯利用费马时代没有发明出的方法对大定理的长长的一百多页的证明，肯定与费马那在丢番图《算术》的页边空白处写不下的“真正美妙的证明”是不同的.

费马用什么证明呢？数学家们分成两个阵营，怀疑论者认为事实上费马只是发现了一个存在缺陷的证明，可能与柯西或拉梅的工作十分相似.另一些数学家则是浪漫的乐观主义者，他们认为费马可能真有一个巧妙的证明.不管这个证明可能是什么样的，它一定是以17世纪的技巧为基础的.可能它涉及一个非常狡猾的论证以致从欧拉到怀尔斯之间的所有人都未能发现.还有众多的数学家相信，只要他们能找到费马原来的证明，他们仍然可以获得声名和荣誉.

什么将是怀尔斯注意的下一个问题呢？作为世界最著名的数学家，令人期待.但是，无论他在研究什么问题，毫无疑问它永远不可能取代他曾对费马大定理所具有的那种迷恋.解决这个问题之后，怀尔斯有一种失落感，但同时也有一种无比的轻松感.怀尔斯着迷这个问题已经8年了，无时无刻——从早晨醒来到晚上入睡——他都在思考它.对于思考一件事那是一段太长的时光.那段特殊的漫长的探索现在结束了，怀尔斯的心灵归于平静.