费马大定理的突破与谷山-志村猜想的关联

2023-11-19 理论教育版权反馈

【摘要】：自费马1637年左右提出“费马大定理”，三百多年过去了，数学界一直未能找到一个解决它的方法，1984年，数学家G.弗莱提出了一个引人注目的论断：如果有人能够证明谷山-志村猜想，那么他们也就自动证明了费马大定理.谷山丰和志村五郎是日本东京大学两位极具才华的数学家，他们研究的内容属现代数学中最深奥的领域，分别是椭圆曲线和模型式.椭圆曲线是指以下形式的任何方程y2=x3+ax2+bx+c（a，b，c为整

自费马1637年左右提出“费马大定理”，三百多年过去了，数学界一直未能找到一个解决它的方法，1984年，数学家G.弗莱提出了一个引人注目的论断：如果有人能够证明谷山-志村猜想，那么他们也就自动证明了费马大定理.

谷山丰和志村五郎是日本东京大学两位极具才华的数学家，他们研究的内容属现代数学中最深奥的领域，分别是椭圆曲线和模型式.

椭圆曲线是指以下形式的任何方程y2=x3+ax2+bx+c（a，b，c为整数）或它的二元三次变异方程，它们有“椭圆曲线”这个名称，是因为过去它们被用来度量椭圆的周长和行星轨迹的长度，其实它就是一个不定方程，倒不如叫“椭圆方程”来得贴切.

研究椭圆方程的任务是当它们有整数解时把它算出来，如果有解，要算出有多少个解.例如举一个特殊的例子：

y2=x3-2（a=0，b=0，c=-2），

这个方程只有一组解，即52=33-2，求出这个解很容易，但证明这个椭圆方程只有一组整数解却是非常困难的事情.事实上，正是费马发现了这个证明，费马证明了26是数学中仅有的一个夹在一个平方数和一个立方数之间的数.

椭圆方程之所以特别吸引人，原因在于它们占有一个很有意思的地位——介于别的较简单的常规的方程与另一些复杂得多甚至是不可能解出的方程之间.从古希腊以来，数学家不遗余力地对各种椭圆方程进行研究.丢番图在他那本著名的《算术》一书中，用大部分篇章来揭示椭圆方程的一些性质，但即使过了两千年，椭圆方程依然有着许多艰难的问题要研究，决定椭圆方程的解的个数仍然是非常困难的.

如对于一个简单的椭圆方程x3-x=y2+y有多少个整数解？一个相当平凡的解是x=0，y=0，一个稍微有点意思的解是x=1，y=0，因为后面有无穷多个整数要去研究，所以要列出一个特定的方程的全体解是一项困难的任务，这时数学家通过用一种所谓的“时钟算术”（这种算术也称为“模算术”），把“无穷多个整数”转化为“在一个有限多个数的范围”中寻找解.

在某一个“时钟算术”中，椭圆方程的解都是有限的，数学家把在不同的“时钟算术”中得到的这些有限的解组成一个序列，叫“E-序列”.E-序列浓缩着关于它描述的那个椭圆方程的许多信息，这就好像生物中的DNA携带着构造生命组织所需的全部信息一样，E-序列携带着构造椭圆方程的本质要素.数学家们希望通过研究E-序列这个“DNA”，最终能够把握椭圆方程的生命密码，以至能够掌握他们想要的有关椭圆方程的一切东西.

谷山丰和志村五郎研究的是双曲空间的模形式.虽然在外表和规模上是多种多样的，但是每一个模形式都是由相同的一些基本要素构造出来的，各个模形式之间的差别在于它们包含的各种要素的量不同.这些刻画模形式是如何构造的信息可以概括成为所谓的模序列，称为M-序列.

正像E-序列是椭圆方程的DNA一样，M-序列是模形式的DNA，模形式与椭圆函数属于数学世界中完全不同的领域，椭圆方程可以追溯到古希腊时代并且与对称性毫无关系，而模形式只是在19世纪才刚被发现，没有人想到这两者之间会有什么联系.1955年，谷山丰在研究中看到一个具体的模形式的M-序列中开头几项，他突然意识到这种结构方式，与一个熟知的椭圆方程的E-序列中列出的数是完全相同的，他计算出这两个序列中更多的项，迷雾中的秘密显露了出来——计算的结果，模形式的M-序列的项依然与椭圆方程的E-序列的项一致.

这是一个惊人的发现，模形式居然能与一个椭圆方程通过它们各自的生命密码发生联系——形成这两个对象的数学DNA（M-序列和E-序列）是完全相同的.

谷山丰又仔细研究了几个不同的模形式，在他研究的几个情形中，M-序列似乎又完美地对应着某个椭圆方程的E-序列.是不是对于每一个模形式都存在某个椭圆方程与之对应，它们有着相同的DNA；或许每个模形式只不过是伪装了的某个椭圆方程？

怀疑论者认为这纯属巧合，谷山丰只不过是想入非非，谷山丰关于两者之间有着更一般的和普遍的关系的主张是很不现实的.这种假设只是根据直觉而真实的证据太少.1958年，31岁的谷山丰因“自己都不清楚的原因”自杀身亡，也许他深邃的洞察力太超前于他的时代，使他陷入了对未来失去信心的心境之中.

志村五郎是谷山丰的唯一同盟者，他相信他的朋友深邃有力的思想.当然他需要找到更多的证据来支持存在于模世界与椭圆世界之间的这种普遍联系.随着越来越多的证据的积累，逐渐地，志村确信每一个椭圆方程必定和一个模形式相关.在这重要关头，20世纪，数论方面的一位领袖人物安德烈·韦依找到了更为坚实可靠的有利的证据，谷山丰的理论逐渐被人们所接受，人们把它称为谷山-志村猜想，以表示对提出它的谷山丰和全力继续发展它的志村的认可.

表面上完全不同的研究方向之间存在的联系对于创造新的成果至关重要，这一点在数学中与在别的学科中是一样的，这种联系暗示着存在某种深藏的使这两个方向都更为增色的真理.

椭圆方程和模形式属于两个不同的世界，这两个数学分支都已被数学家集中但独立地研究过，研究椭圆方程的数学家可能并不精通模世界中的知识，反过来也是这样，谷山-志村猜想在这两个完全不同的世界架起了一座桥梁.

数学中的桥有着巨大的价值，它们使生活在各个孤岛上的数学家社团能交流想法，探讨彼此的创造.数学是由未知海洋中的一个个知识孤岛组成的.例如，在那里有一个几何学家占据的孤岛，另一个地方有一个概率论的孤岛.每个孤岛上使用它们自己独特的语言，这种语言别的岛上的居民是不一定懂的，谷山-志村猜想沟通了两个孤岛的联系，对椭圆世界中非常难的问题，有时候可以利用这个“桥”，将它转变成模世界的问题，并发现在模世界中已有办法和工具来处理解决这个经过变换的问题，从而使原问题得以解决，而如果仅仅龟缩于椭圆世界之中，我们对它是束手无策的.反之亦然.

到20世纪60年代，普林斯顿高等研究院的罗伯特·朗兰兹被谷山-志村猜想所具有的潜力吸引，尽管当时这个猜想尚未被证明，但朗兰兹相信它只不过是一个更为宏伟得多的统一化计划中的一个环节，他有一个信念，在所有主要的数学课题之间都存在连接的环链，并开始寻找这些统一的环链.不久，许多环链开始涌现，它们形成了由存在于许多数学领域之间的假设性链条组成的一张错综复杂的网络.朗兰兹的梦想是看到这些猜想一个接一个地被证明，最终形成一个宏伟的统一的数学，这就是伟大的“朗兰兹纲领”.(www.chuimin.cn)

如果这个梦想成为现实，那么它的意义将是巨大的：在某个数学领域中无法解答的问题，可以被转换成另一个领域中相应的问题，而在那里有一整套不同的武器可以用来对付它，如果仍然难以找到解答，那么可以把问题再转换到另一个数学领域中去对付，直到它最终被解决为止.根据朗兰兹纲领，数学家们终将能够解决他们想解决的那些最深奥、最难对付的问题，办法是领着这些问题周游数学王国的各个风景胜地.

对于应用科学和工程技术，这个纲领也有重要的意义.

费马大定理宣称xn+yn=zn（n＞2）没有整数解，弗赖假设它有一个解（a，b，c），那么an+bn=cn，然后弗赖开始“重新安排”这个方程，通过一系列熟练而复杂的演算，弗赖使具有这个假设解的费马方程变成为

y2=x3+（an-bn）x2-anbn，

这其实是一个椭圆方程.

这样，弗赖就将费马大定理和椭圆方程联系了起来，而且他还进一步指出，他的由费马方程的一个解做出的椭圆方程是非常稀奇古怪的，它是如此的古怪，以至于它似乎不可能与一个模形式相关，这样弗赖方程的存在就会否定谷山-志村猜想.

弗赖的推理如下：

（1）如果谷山-志村猜想能被证明是对的，那么每一个椭圆方程必定可以模式化；

（2）如果每一个椭圆方程必定可以模式化，那么弗赖的椭圆方程也能模式化；

（3）事实上，弗赖方程是如此的古怪，它不能被模式化；

（4）所以弗赖方程是不存在的；

（5）弗赖方程不存在，那么费马方程存在解的假设不成立.

弗赖最终得到的结论是，如果数学家能证明谷山-志村猜想，那么他们将自动地证明了费马大定理.

但弗赖的工作是不完全的，因为他并没有十分清楚地证明他的椭圆方程是足够古怪的，弗赖好不容易地找到了一种诱人的证明费马大定理的策略，但只有当某人证明了弗赖的椭圆方程有绝对的古怪性，那么谷山-志村猜想的证明才会隐含着费马大定理的证明.

两年后（1986年），加利福尼亚大学伯克利分校的教授肯·里贝特经过不懈的努力，在同事巴里·梅休尔的帮助下，终于成功地证明了弗赖方程的绝对的古怪性，这样，费马大定理就不可摆脱地与谷山-志村猜想联结在一起了.

三个半世纪以来，费马大定理一直是个孤立的问题，一个在数学的边缘上使人好奇的、无法解答的谜.现在，肯·里贝特在弗赖的启示下把它带到一个重要的新事物舞台上来了，“桥”的力量使17世纪最迷人的问题与20世纪一个可能引起现代数学革命的猜想联结在一起.

希望又燃起，但从1956年谷山-志村猜想的提出，30年过去了，数学家们试图证明谷山-志村猜想的努力都没有成功.绝大多数人相信谷山-志村猜想是很难接近的，也有人认为存在谷山-志村猜想完全是错误的可能性，数学界很少有人愿意冒险去碰它.

费马大定理的突破与谷山-志村猜想的关联

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