数学界的沉寂：费马大定理的绝望与转变

2023-11-19 理论教育版权反馈

【摘要】：在恩斯特·库默尔的工作之后，发现费马大定理证明的希望比以前更渺茫了，人们开始怀疑这个问题是不可能解决的，或许费马本来就是自己骗自己，没有人重新发现费马的证明就是因为根本不存在这样的证明，数学家纷纷转向其他不同的研究领域，新一代的数学家也极力避免那些似乎不可能解决、进入死胡同的危险，到20世纪初，这个问题虽然依然在数论家的心目中占有特殊的地位，但是他们对待费马大定理就像化学家对待炼金术一样，他们仿佛

在恩斯特·库默尔的工作之后，发现费马大定理证明的希望比以前更渺茫了，人们开始怀疑这个问题是不可能解决的，或许费马本来就是自己骗自己，没有人重新发现费马的证明就是因为根本不存在这样的证明，数学家纷纷转向其他不同的研究领域，新一代的数学家也极力避免那些似乎不可能解决、进入死胡同的危险，到20世纪初，这个问题虽然依然在数论家的心目中占有特殊的地位，但是他们对待费马大定理就像化学家对待炼金术一样，他们仿佛都是来自过去年代的荒谬和富有浪漫色彩的梦.

1908年，德国实业家保罗·沃尔夫斯凯尔给这个问题注入了新的生命力，沃尔夫斯凯尔家族以其财富和乐于资助艺术和科学而闻名.保罗在大学里学过数学，虽然他的绝大部分时间是花在经营家族的商业上，但他与众多职业数学家保持着联系，并且陆续涉猎数论，沃尔夫斯凯尔拒绝放弃对费马大定理的爱好.在他去世前，保罗把他财产中的一大部分作为一个奖，奖给任何能证明费马大定理的人，奖金为巨款10万马克，悬赏的截止时间为2007年9月13日，保罗委托哥廷根皇家科学协会成立一个专门委员会负责运作.值得一提的是委员会对任何能证明它不成立的人则一分钱也不给.

所有的数学杂志都刊登了设立沃尔夫斯凯尔奖的通告，消息迅速传遍欧洲.但尽管有宣传攻势和巨额奖金带来的刺激，却并未唤起主流数学家的多大兴趣，大多数职业数学家把证明费马大定理看作一个不会有结果的事情，不值得浪费时间去干这样的蠢事.然而，这个奖还是成功地吸引了一大批潜藏着的热心学者，他们愿意投身于这个最艰难的谜，并试图沿着一条从未有人走过的道路去接近它，业余爱好者们则更是梦想他们或许能找到相对简单的、没有被过去的大教授们发现的巧妙方法，参赛的论文像雪片似的，飞到哥廷根大学，虽然每个参赛者都确信他们已经解决了这个难题，但他们都在他们的逻辑中犯了难以捉摸的、或许是简单的错误.数论这门艺术是如此的抽象，以致人们很容易离开逻辑的道路漫步乱走，而自己却没意识到已经进入荒漠之中.

虽然全世界的业余数学家们蠢蠢欲动、热情有加，但专业数学家们不再在库默尔和其他的19世纪数学家的工作上添砖加瓦，而是开始探索他们自己学科的基础.20世纪的一些最优秀的人物，包括伯特兰·罗素、大卫·希尔伯特和库特·哥德尔，他们试图弄清楚数的最深刻的性质，以便掌握它们的真实意义和发现哪些问题是数论能回答的，哪些问题又是数论无法回答的.

众多逻辑学家参与了这个缓慢而棘手的只使用最少个数的公理来重建这座无比复杂的数学知识大厦的过程，希尔伯特相信，数学中的一切能够而且也应该根据基本的公理加以证明.这样做的结果，最终要求数学体系要体现两个最重要的基本要求，首先，数学应该有能力回答每一个问题——这与对数学要求的所谓的“完全性”是相同的，这种要求在过去曾迫使数学家创造出像负数和虚数这样的新的数.其次，数学不应该有不相容性——也就是说，如果用一种方法证明了某个问题是对的，那么就不可能用另一种方法证明这同一命题是错的.希尔伯特确信，只需承认少数几个公理，就可以回答任何想象得到的数学问题而且无须担心会出现矛盾.

然而，罗素的“理发师悖论”（某理发师声称，他给城里所有不自己理发的人理发，那么，他是否可以给自己理发？）却使数学逻辑处于混乱的状态，逻辑学家们知道潜藏在数学基础中的悖论迟早会冒出头来并且引起严重的问题，罗素与希尔伯特和其他逻辑学家一起，开始设法补救这种特别的情形，以恢复数学的合理性.

1900年8月8日，希尔伯特在巴黎的国际数学家大会上做了一个历史性的演讲，希尔伯特提出了数学中最迫切需要解决的23个重要问题，大多数集中于数学的逻辑基础，提出这些问题是为了集中数学界的注意力并提供了一个研究计划.希尔伯特激励数学界来帮助他实现他的建立可信的并且相容的数学体系的梦想.

罗素又花了10年的时间考虑数学公理，他与阿·诺·怀特海合作，出版了3卷本的《数学原理》的第一卷，这本书是一个成功的尝试.他对自己的悖论所引起的问题给出了部分的回答，人们把《数学原理》当作建立无缺陷的数学大厦的指南，到1930年希尔伯特退休时，希尔伯特相信数学已经正常地走上了重建的道路，数学的逻辑是相容的，而且有能力回答每一个问题的.“我们必须知道，我们必将知道”的数学梦想正在成为现实.

然而，哥德尔在1931年总结了自己的研究成果，出版了他的书《〈数学原理〉及有关系统中的形式不可判定命题》，其中包含了他的所谓不可判定性定理.简单说就是哥德尔证明了不管使用哪一套公理体系，总有数学家不能回答的问题存在.这简直就是一个噩梦，据说，当这个消息传到美国时，大数学家约翰·冯·诺依曼取消了他正在做的关于希尔伯特计划的系列讲座，而将讲座的其余部分替换为讨论哥德尔的革命性工作.(www.chuimin.cn)

哥德尔的不可判定性定理给费马大定理是否可解带来了不确定的因素，或许费马大定理是不可判定的，这样，证明费马大定理就不仅是困难的，它也许根本就是一个虚无的问题.任何卷入费马大定理的数学家都会冒着白白浪费生命的风险.

到20世纪30年代，数学家们已经将他们能用的方法差不多都试过了，几乎没有别的方法可用了.但问题依然没有进展，此时数学家迎来了一个新的工具，自从对数计算尺发明以来计算能力的又一次质的飞跃——计算机的诞生和广泛使用.

战争的残酷使计算机技术飞速发展，它能够进行复杂到人无法实行的计算，计算机在几分之一秒就可以完成比费马毕生做过的还要多的计算，那些仍然为费马大定理奋斗的数学家们开始用计算机这个新武器来组织进攻.

库默尔不仅发现了柯西和拉梅的研究中的缺陷，并由此揭示了在证明费马大定理时最要紧的问题是处理当n为一种所谓的“非正则素数”的情形.唯一的问题是每一次处理都需要做数量巨大的计算.库默尔和他的团队好不容易完成了100之内的3个非正则素数所需的计算，但他们和其他的数学家再也无力去面对后面的介于100和1000之间的一批非正则素数做同样的事.几十年以后，计算机的魔力使这样的计算不再成为问题，很快，计算机专家和数学家对于500以内，然后是1000以内，再是10000以内的非正则素数都证明了费马大定理，当这个值达到400万的时候，圈外人以为现代技术终于要战胜费马大定理了.但是数学界知道他们的成功仅仅是表面的，即使超级计算机花几十年功夫，对越来越大的n值一个接一个地加以证明，单靠计算机的蛮力嘎吱嘎吱地碾过一个一个的数是不可能达到无穷的.

计算机能提供的一切只是有利于费马大定理的证据，数学不像其他的自然科学那样，再多的证据也不足以使数学家满意，数学家需要的是一个“证明”.

四色定理是最早采用计算机蛮力去证明的数学定理之一，19世纪初，弗朗西斯·古德里提出了一个问题：任何二维的地图只需使用四种不同的颜色来区分不同的国家，是否就可以让任何相邻的国家不会是同一种颜色？这看起来容易，但证明却非常难以下手，1976年阿佩尔和哈肯借用计算机证明了四色定理.

计算机辅助证明的广泛使用，导致了一种有关证明的新的叙述方式的产生，也引发了品位、创造力、技巧和哲学上的议题，某些数学家认为，蛮力方法不属于传统的证明方式.然而，进行大量但可行的计算正是计算机被发明出来的原因，这是计算机所擅长而人类非常不在行的事情，如果计算机和人类同时进行一个庞大的计算，但产生不同的结果，则无疑计算机是对的.

计算机所做的一些证明和计算对数学而言，通常都相当微不足道而且极度无趣，就像快餐店提供数十亿个无趣和重复的面包，完成了任务，但称不上美味.对某个数学定理，如果说数学上的证明在思想和形式上如《三国演义》一般丰富，那么计算机证明就像电话簿一样无趣.

数学界的沉寂：费马大定理的绝望与转变

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