费马大定理：被遗忘的数学课

2023-11-19 理论教育版权反馈

【摘要】：费马大定理说xn+yn=zn（n＞2）没有整数解.这个方程代表了无穷多个方程：x3+y3=z3，x4+y4=z4，x5+y5=z5……

费马大定理说xn+yn=zn（n＞2）没有整数解.这个方程代表了无穷多个方程：

x3+y3=z3，x4+y4=z4，x5+y5=z5……

欧拉的策略：设法先证明其中一个方程没有解，然后再对其余的方程推广这个结果.欧拉先从最简单的情形x3+y3=z3下手.

欧拉的计划有一个良好的开端，因为当时他敏锐地发现了隐藏在费马草草写下的注记中的一条线索，虽然费马从未写下过大定理的证明，但是他在他的那本丢番图的《算术》书中别的地方隐蔽地描述了对特殊情况n=4的一个证明，并且在一个完全不同的问题的证明中采用了这个证明方法，虽然这已是费马写在纸上的最完整的一个演算，但细节仍是概略的，而且含糊不清，但是它们清楚地展示了一种特殊形式的反证法，称之为“无穷递降法”.

为了证明x4+y4=z4没有整数解，费马先假设方程存在一个整数解（x1，y1，z1），通过研究解（x1，y1，z1）的性质，费马能够证明：如果有这样一个假定解，那么一定会存在一个更小的解（x2，y2，z2），然后通过再研究这个新解的性质，费马又能够证明存在一个还要小的解（x3，y3，z3），这样可以一直进行下去.

于是费马找到了一列逐渐递减的解，理论上它们将永远继续下去，产生越来越小的解，然而，x，y和z必须是整数（正整数），因此必定会有一个最小的可能解存在.这就产生了矛盾，这个矛盾说明了最初存在的那个解（x1，y1，z1）的假设一定是错误的.费马使用无穷递降法证明了n=4对这个方程不允许有任何整数解.

欧拉试图以此为出发点，对所有别的方程构造一般的证明.欧拉除要向上构造到n=5，6……外，他还必须向下构造n=3的情形.1753年，欧拉宣布他采用费马的无穷递降法成功地证明了n=3的情形，100多年来，这是第一次有人针对费马的挑战成功地取得了进展.

以前，别的数学家也尝试过采用费马的无穷递降法来研究除n=4之外的情形，但是每一次拓展这种证明的尝试总是以逻辑推理的中断而告终.然而，欧拉向人们表明，通过将虚数i引入他的证明中，他能填补证明中的漏洞，使得无穷递降法适用于n=3的情形.回想前面的讲座中我们了解到的，连牛顿这样的大家对虚数的认识都那么“虚”，我们就知道欧拉的大胆和创新是多么宝贵，这也是所有人都败下阵来而欧拉能成功的原因.

但是，n=3的成功却无法在其他的情形中重现，欧拉试图使其论证适用于其余的情形的努力都以失败而告终，欧拉可以得到的安慰是，他对这个难题已经取得了首次的突破.

欧拉大胆地使用虚数，拓展了费马的无穷递降法，证明了n=3的情形后，数学家面对的将是以下的无限多个方程：x5+y5=z5，x6+y6=z6，x7+y7=z7……

虽然数学家们取得的进展比较慢，但情况似乎还不像初看时感到的那么糟糕，因为x4+y4=z4没有整数解，那么（x2）4+（y2）4=（z2）2，（x3）4+（y3）4=（z3）4……也都没有整数解，对n=4的情形的证明，也就包含了n=8，12，16，20……的情形；同样因为x3+y3=z3没有整数解，那么（x2）3+（y2）3=（z2）3，（x3）3+（y3）3=（z3）3……也都没有整数解，欧拉对n=3的证明，自动地证明了n=6，9，12，15……的情形，这样，需要证明的个数就大大地减少了.特别是欧拉对n=3的证明是有特殊意义的，因为数字3是一个素数，而素数是数学中的原子，是数的建筑材料，所有其他别的数都是由若干个素数相乘而得到的.这是一个值得注意的突破口：为了证明费马大定理对n＞2的一切整数值适合，我们仅仅需要证明它对n的所有素数值适合，所有其他情形只不过是素数情形的倍数，因而无疑也会被证明.例如对于20以内的n的值，只有6个值需要加以证明，那就是5，7，11，13，17和19.

素数只是全体整数中的一小部分，那么这个问题是不是就简单得多了呢？不幸的是，早在欧几里得时代，他就已证明了素数的个数是无穷的.这样，尽管可以忽略为数众多的与n的非素数值相关的方程，然而剩下要面对的方程的个数仍然是无穷的.

到19世纪初，费马大定理已经成为数论中最著名的问题，自从欧拉的突破性工作以来，还没有进一步的进展，然而，一个年轻的法国女性所做的激动人心的工作使寻找费马的遗失的证明这件事又重新活跃起来.

在欧洲所有的国家中，法国的大男子主义表现得最为突出.法国人声称数学不适合于妇女，数学对她们来说是她们的智力所不能承受的.索菲·热尔曼成功地摆脱了社会的束缚，使自己成为一名优秀的数论家，她革新了对费马大定理的研究，而且她做出的贡献比生活在她之前的任何男性都更为杰出.

1794年，巴黎综合工科学校诞生了，它是为法国培养数学家和科学家而建立的一所优秀学校，但它却是一所只接受男性的学院.热尔曼不得不冒名以前在这个学校读书的一名男生安托尼·奥古斯特·勒布朗，偷偷摸摸地在学校里学习，师从当时欧洲最优秀的数学家拉格朗日，不久，“勒布朗同学”就以出色的才华引起大数学家的注意，热尔曼被迫透露了自己的真实身份.拉格朗日感到震惊，但他很高兴见到这个年轻的女学生，并成为她的导师和朋友，索菲·热尔曼终于有了一位能激励她前进的老师，可以坦诚地展示她的才能和抱负.

热尔曼变得越来越有信心，积极研究数学中未开发的领域，尤其重要的是她对数论发生了兴趣，这使她必然会知道费马大定理，她对这个问题研究了好几年，最后达到了她自信已经有了重要突破的阶段，她和拉格朗日讨论她的想法，拉格朗日肯定了她的开创性的研究，并鼓励她去请教当时世界上最杰出的数论家——德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯.

高斯作为数学之王，他的工作影响着数学的每一个领域，但很奇怪，他从未发表过论述费马大定理的文章，也许“数学王子”对“业余数学家之王”的问题不大感兴趣，高斯曾说“费马大定理作为一个孤立的命题，对我来说几乎没有什么兴趣，因为我可以很容易地写下许多这样的命题，人们既不能证明它们又不能否定它们.”对高斯这样的大师来说，他显然有许多更重要的问题要研究，高斯有权利发表他的意见，但是费马曾明确地说存在这样一个证明，后来的数学家寻找这个证明的尝试尽管失败了，但却产生了一些新颖的方法，例如“无穷递降法”和虚数的应用.或许高斯私下里曾尝试过这个问题，但失败了，当他看到“勒布朗先生”的突破性工作，他还是惊喜万分地表示了肯定，回信说：“我很高兴算术找到了你这样有才能的朋友.”

欧拉的工作表明，只要对费马大定理中的素数的情形进行证明就行了.但热尔曼不去试图攻克无穷多个素数中的某一个，她采取了一种新的策略，对所有素数进行分类：对于任意素数p，要么2p+1还是素数（如5，11，19，…，因为2×5+1，2×11+1，2×19+1……还是素数），要么2p+1不是素数（如7，13，17……，因为2×7+1，2×13+1，2×17+1……是合数）.若p为素数，且2p+1也是素数，我们姑且叫这类素数为“热尔曼素数”，热尔曼证明了当n是“热尔曼素数”时，xn+yn=zn大概没有整数解.数学是不能用“大概”来说话的，虽然热尔曼的研究还不是那么完善，但这里的关键是她提供的这样一个“一揽子解决”的方案和她那“巧妙的论证”提供的模式和方法.(www.chuimin.cn)

1825年，数学家勒让德和狄利克雷各自独立地证明了“热尔曼素数”n=5的情形，他们的证明是在热尔曼的开创性的基础上完成的，使热尔曼的方法第一次获得成功.

14年后，法国人又做出了另一个突破性的工作，加布里尔·拉梅对热尔曼的方法做了进一步的巧妙的拓展，并成功证明了“非热尔曼素数”n=7的情形，热尔曼已经告诉数论家们怎样去攻克完整的一批素数.

热尔曼作为一位女数学家，以女性特有的警觉和体贴，诠释了科学史上令人倍感温馨的一幕.1806年，皇帝波拿马·拿破仑入侵普鲁士，法国军队一个接一个地猛攻德国的城市，势如破竹.对于身处敌对国的高斯，热尔曼担心落在阿基米德身上的命运也会夺走她的另一个崇拜对象高斯的生命，因此，她迅速写了一封信给她的朋友约瑟夫·玛利埃·帕尼提将军，当时他正负责指挥法兰西铁骑向高斯所在的城市挺进，她请求将军保证高斯的安全，结果将军对这位德国数学家给予了特殊的保护并专程拜访高斯，告诉他是热尔曼小姐挽救了他的生命，高斯感到震惊和感动，原来自己在算术中的朋友“勒布朗先生”竟然是一位女性.

由于热尔曼的杰出贡献，法国科学院授予她金质奖章，成为第一位不是以某个成员的夫人的身份出席科学院讲座的女性.热尔曼把她自己的一生都献给了科学事业，终身未婚.在她生命的尽头，高斯说服哥廷根大学授予她名誉博士学位，但在荣誉授予仪式举行之前，索菲·热尔曼死于乳腺癌.

在索菲·热尔曼的突破性工作之后，法国科学院设立了一系列的奖，以奖励能最终揭开费马大定理的神秘面纱的数学家，除了享有证明费马大定理的巨大的声望外，这个挑战还附加了不菲的奖金.

1847年3月1日，法国科学院举行了一个富有戏剧性的会议，数论专家加里布尔·拉梅（他早年曾证明了n=7的情形）面对那个时代最卓越的数学家们宣布，他差不多已经证明费马大定理了，他承认现在自己的证明还不完整，但是他概略地叙述了他的方法，并自信地表示几星期后他会在科学院杂志上发表一个完整的证明.

全体听众都愣住了.但是，拉梅一离开讲台，另一位巴黎最优秀的数学家奥古斯汀·路易斯·柯西就请求允许他发言，柯西宣称他一直在用与拉梅类似的方法进行研究，并且也即将发表一个完整的证明.

无论柯西还是拉梅，都意识到时间是至关重要的，虽然他们谁也没有完整的证明，但这两位竞争对手都急于立桩标明所有权，所以仅仅过了三个星期，他们就各自向科学院递交了盖章密封的信封，为防止类似牛顿与莱布尼兹的悲剧重演，这个盖章密封的信封会对判断谁先拥有优先权提供必要的证据.

随着柯西和拉梅在科学院通报上发表他们的撩人而又含糊的证明细节后，整个数学界都极想看到完整的证明.他们之中许多人暗地里都希望拉梅而不是柯西赢得这场竞赛.根据各种流行的说法，柯西是一个自以为是的人，一个狂想的天主教徒，不大受同事的欢迎，只是因为他的杰出才华，他才能待在科学院中.作为法国科学院的秘书，数学权威，柯西在对待两位当时尚未成名的数学天才阿贝尔、伽罗瓦都未给予应有的热情与重视，对阿贝尔关于椭圆函数论的一篇开创性论文，对伽罗瓦关于群论的一篇开创性论文，不仅未及时审阅做出评论而且还把他们送审的论文弄丢了，这两件事常受到后世评论者的批评.如果柯西对两位天才给予了足够的重视，也许后世的数学史将会改写.

5月24日，有人宣读了一份声明，结束了种种推测.既不是柯西也不是拉梅.约瑟夫·刘维尔在科学院宣读了德国数学家恩斯特·库默尔的一封信的内容，震惊了全体听众.

库默尔是一位顶级数论家，他对发生在法国科学院中的一系列事件一清二楚.他从头到尾仔细地读了科学院的通报，分析了柯西和拉梅敢于透露出来的少数细节.库默尔十分清楚两个法国佬正在走向同一条逻辑的死胡同.问题出在柯西和拉梅的证明都要借助于使用数的一种称为“唯一因子分解”的性质，唯一因子分解是说，对于任意给定的一个整数，只有一种可能的素数组合，如12=2×2×3，15=3×5，等等，唯一因子分解对一切自然数成立，是公元4世纪欧几里得发现的，在数论的许多证明中是一个要点，现在把它称为“算术基本定理”.

初看起来，柯西和拉梅完全可以像以前的数学家那样借助唯一因子分解性质，不幸的是，他俩的证明都用到了虚数，这是一个致命的缺陷.

例如，如果我们限于实数的情形，那么数10只能分解成2×5一种情况，但一旦在证明中运用虚数，那么10也可以分解成下列形式：10=（3+i）（3-i）或10=（1+3i）（1-3i）.

库默尔击中了要害，拉梅一下子泄了气，后悔如果将自己的工作更为公开一些，功利性更少一些，或者与好朋友狄利克雷商量交流一下，那么所有这一切就不会发生了.

在拉梅感到羞涩的同时，柯西则拒绝承认失败，他认为自己与拉梅的证明相比，他的方法对唯一因子分解的依赖程度较轻，而且库默尔的分析在被完全核对之前也可能存在缺陷，在随后的几个星期中他继续发表有关这个题材的文章，但是不久，柯西也变得安静了.

库默尔不仅指出了柯西和拉梅证明中致命的漏洞，而且他还论证了费马大定理的完整证明是当时的数学方法不可能实现的.这个论证是数学逻辑中光辉的一页，但也是对希望能解决这个世界上最棘手的数学问题的整整一代数学家的巨大的打击.

高傲的柯西不得不低下头来，作为法国科学院的秘书，在1857年亲手将巴黎科学院大奖授予了库默尔.

费马大定理：被遗忘的数学课

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