毕达哥拉斯定理：数学课中的珍宝

2023-11-19 理论教育版权反馈

【摘要】：费马的研究是建立在自毕达哥拉斯以来一直到他的时代大量知识的基础上的.费马在数论领域的第一个发现涉及所谓的“亲和数”.亲和数是这样的一对数，其中的一个数是另一个数的因数之和，如早期的毕达哥拉斯学派得到的220和284（其中220的因数有1，2，4，5，10，11，20，22，44，55，110，它们的和是284；另一方面，284的因数是1，2，4，71，142，它们的和是220），直到1636年才由

费马的研究是建立在自毕达哥拉斯以来一直到他的时代大量知识的基础上的.费马在数论领域的第一个发现涉及所谓的“亲和数”.亲和数是这样的一对数，其中的一个数是另一个数的因数之和，如早期的毕达哥拉斯学派得到的220和284（其中220的因数有1，2，4，5，10，11，20，22，44，55，110，它们的和是284；另一方面，284的因数是1，2，4，71，142，它们的和是220），直到1636年才由费马发现了另一对亲和数17296和18416，虽然这不能算是什么深刻的发现，但也显示了费马对数的熟悉程度以及他喜欢摆弄数的癖好.费马的发现掀起了一阵寻找亲和数的热潮，同时代的笛卡尔或许是为了与费马争胜，一怒而发现了第3对亲和数9363584和9437056，此后，亲和数的研究一直停滞不前，直到18世纪，非凡的欧拉一举列出了62对亲和数，他独自一人就使世界已知的亲和数增加了20倍.欧拉之所以这么厉害是因为他找到了生成亲和数的方法，并用这种方法生成了这些亲和数.奇怪的是，他们所有人都忽略了一对小得多的亲和数1184和1210.

费马的另一个发现是现在被称为“费马数”的形如22n+1的数，费马发现，在n=1，2，3，4时，序列5，17，257，65537都是素数，于是，费马宣称，所有形如22n+1的数都是素数，这样费马就发现了一个始终能生成素数的公式，如果这个猜想正确，那将是一个很大的成就.由于F5=225+1=4294967297是一个巨大的数，这个数的素数判定在当时是一件难度很大的事，一时间无人能证明或证伪费马的猜想.这样的问题是难不倒欧拉的，欧拉成功地分解了4294967297=641×6700417，费马这个素数猜想是错误的.

如果给你25，26，27三个数，问你有什么想法，大多数人将被问住，费马却能注意到夹在25与27之间的数26是一个特殊的数，因为它被夹在一个平方数（25=52）和一个立方数（27=33）之间.费马摆弄数的热情又来了，还有没有这样的数呢？他寻找其他的这种例子都没有成功，于是他怀疑26可能是唯一的这种数.经过研究，他设法构造了一个精妙的论证，于是费马向数学界宣布了数26的这个独一无二的性质，并公开声明他本人已经有了一个证明，然后向他们发出挑战：给出一个与之相对应的证明.尽管这个命题很简明，谁都懂，然而证明起来却是异常的困难.

数论是一个巨大的宝藏，里面存在着无数的人人能懂但却异常难证的猜想.如我们前面在讲的毕达哥拉斯定理，数学家从几何中的a2+b2=c2过渡到代数方程：x2+y2=z2，这个不定方程有无数个整数解，每一个解都是一个“毕达哥拉斯三元组”.

费马在研究丢番图的《算术》时，被欧几里得和丢番图对毕达哥拉斯三元组的详细描述所吸引，心想在这方面应该添加一些什么新鲜的东西.

费马做了一个最简单的变动，考虑毕达哥拉斯方程x2+y2=z2的一种变异方程x3+y3=z3（将2变为3），奇怪的事情发生了，就是这样一个不经意的改变，费马通过反复试算，发现这个小小的改变竟使具有无限多个解的毕达哥拉斯方程一下子变成了没有解的方程.

他进一步将幂改成大于3的数，得到新的方程x4+y4=z4，x5+y5=z5……又经过大量的演算和研究，在求整数解上同样一筹莫展.

于是，费马在丢番图的《算术》中靠近问题8的边缘处，记下了他的结论：

“不可能将一个立方数写成两个立方数之和，或者将一个4次幂写成两个4次幂之和，或者，总的来说，不可能将一个高于2次幂写成两个同样次幂的和.”(www.chuimin.cn)

似乎没有理由认为，在一切可能的数中间，竟然找不到任何一个毕达哥拉斯变异方程xn+yn=zn（n＞2）的一组解.但是，费马说，在数的无限世界中，没有“费马三元组”的位置.这是一个异乎寻常的大胆的结论，更不寻常的是，在这个结论的边注后面，费马写下了一个附加评注：

“方程xn+yn=zn当n＞2时没有整数解，我有一个对这个命题的十分美妙的证明，但这里的空白太小，写不下.”

虽然那个时代的数学家都有为自己的方法保密的习惯，以保持自己作为有能力解决某个特殊问题的独一无二者的声誉，然而费马只叙述问题而将它的解答隐藏起来的习惯，仍然惹恼了同时代的一些数学家，笛卡尔称费马为“吹牛者”，英国人约翰·沃利斯把他叫作“那个该诅咒的法国佬”.而对费马来说，他似乎乐于挑逗他的同行们.

命题“xn+yn=zn当n＞2时没有整数解”被称为“费马猜想”，由于人们相信费马的那个“写不下的美妙的证明”，费马猜想习惯上被称为费马定理，因早期费马已有一个关于数论的定理，为了以示区别，原先的那个定理被称为“费马小定理（欧拉正是利用它成功地分解了4294967297），而我们的定理就叫作“费马大定理”.

费马的这个发现发生在他数学生涯的早期，大约是1637年前后.费马于1665年去世，由于他长期独立于主流数学家的圈子之外，费马的各种发现有可能处在被永远遗失的危险之中.幸运的是，费马的长子意识到他父亲的数学研究所具有的重要意义，花了5年时间收集他父亲的注记和信件，1670年在图卢兹出版了《附有费马的评注的丢番图的算术》.费马的评注被广为传知，人们在其中发现了许多宝贵的独创性的东西，虽然费马对这些评注或者根本没有任何解释，或者仅仅给出对背后的证明的一点点提示，或者略微透露一点带有挑逗性的逻辑推理，但是费马的天才还是使数学家们相信费马已经有了证明的方法，以致在费马死后几十年的1742年，伟大的欧拉还请他的朋友仔细检查费马的住所和所有遗稿，看是否有重要的零星论文纸片留在那里.

费马大定理是费马评注中唯一日后人们一直没有证明出的定理，因此这个定理又常常被人们称为“费马最后定理”.

我们的故事以寻找费马那个“地方太小，写不下”的遗失的证明为中心，这个遗失的证明害苦了一代又一代的人们.

毕达哥拉斯定理：数学课中的珍宝

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