上海青浦区实验中学三十年教育活动改革

2023-11-19 理论教育版权反馈

【摘要】：因此，准确地找出最简公分母是解分式方程的关键一步。生8：第小题的最简公分母是（x＋3）（x－3）。生10：第小题的最简公分母是x（x－5）2。生11：第小题的最简公分母是（x＋2）（x－2）。

这是“套筒式”结构课程中，教师把规定教材的知识、能力，在“活动—发展”教学新格局的理念引领下，有计划、系统地传授知识、技能，保证有效地提高学生的基本素质，也是“套筒式”结构课程课堂内的基本教学形态。因此，我们十分重视利用教材、研究教材、开发教材，有目的挖掘师生教与学的潜力，达到学生最大限度掌握知识和能力。下面我们用案例来说明。

案例：初三数学《可化为一元二次方程的分式方程》

执教：青浦实验中学　班丽亚

评述：青浦教师进修学校　蒋嘉莘

青浦实验中学　吴定一

师：在初一年级时，我们曾经学过可化为一元一次方程的分式方程，请同学们思考一下：什么叫作分式方程？

生众：分母含有未知数的方程。

师：对，你们看看黑板上这个方程： pagenumber_ebook=40,pagenumber_book=30 ，（教师板书题目）这是什么方程？

生众：是分式方程。

师：对，那么这个方程怎样解呢？

生众：去分母。

师：好，谁能说出它的解题过程吗？

生1：解：原方程就是　 pagenumber_ebook=40,pagenumber_book=30

方程两边都乘以（x－1）（x＋1），约去分母，得

x－1＋4x=2（x＋1），

3x=3

∴x=1。

检验：把x=1代入（x－1）（x＋1）=0

∴x=1是增根。

因此，原方程无解。

师：讲得非常好，他的解题步骤很清楚，整个过程分三步进行。

第一步：在方程两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程。

第二步：解这个整式方程。

第三步：把解得的整式方程的根代入最简公分母进行检验。由于最简公分母正好等于零，也就是原方程中分式的分母等于零，使得分式没有意义，所以它是增根。

正是由于分式方程有产生增根的可能，分式方程才有验根的必要。检验方法是把整式方程的根代入最简公分母，如果计算结果等于零，说明它是增根；如果计算结果不等于零，说明它是原方程的根。

现在如果我把这个方程稍微改动一下，又得到一个方程：，这个分式方程，你们会解吗？请你们思考之后，做在自己的练习本上。

生2：解：原方程就是： pagenumber_ebook=41,pagenumber_book=31 。

方程两边都乘以（x－2）（x＋2），约去分母，得

x－2＋4x=2（x＋2）＋（x＋2）（x－2），

∴x 2－3x＋2=0

解得x 1=1，x 2=2。

检验：把x=1代入（x＋2）（x－2）≠0，

∴x=1是原方程的解。

把x=2代入（x＋2）（x－2）=0，

∴x=2是增根。

∴原方程的解是：x=1。

师：生2做得很好，在解这个方程中，去分母时注意方程右边这个“1”也要乘以（x＋2）（x－2），不要遗漏；另外解分式方程时，验根步骤不可缺少。

评：本节课是紧接在可化为一元二次方程的简单高次方程之后的教学内容。但是教师不是开门见山地亮出课题。在这里设计了两个题目，其中前一个题目是复习解可化为一元一次方程的分式方程的基本思路和步骤；后一个题目正是本节课要学习的可化为一元二次方程的分式方程的解法。其设计目的主要在于运用学生认知结构中对学习新知识起支持作用的原有知识，由学生自行完成对新问题的探究活动。因此，教师采用恰当引领，为学生提供思维发生的背景材料，使学生在和谐、轻松的气氛中，不知不觉地完成对新知识的认识过程的做法，值得借鉴。

师：好！同学们已经会解这类方程了。接下来请同学们观察一下，这个方程与上一个方程比较，它们的解题过程哪些是相同的？哪些是不同的？请同学们议一议。

……

师：好，现在我们大家互相交流一下看法。

生3：它们都是分式方程。

生4：它们的解题方法都相同。

生5：都是通过去分母，化为整式方程。

生6：它们都需要检验，因为可能产生增根。……

师：刚才几位同学讲的都是相同的地方，那么不同的地方是什么呢？

生7：前一个分式方程去分母后化成的是一元一次方程，后一个分式方程去分母后化成的是一元二次方程。

师：这几位同学说得非常好，把他们的说法概括起来，相同的地方，有三点：

（1）它们都是分式方程；

（2）解题基本思路都是方程两边都乘以最简公分母，化为整式方程；

（3）它们都有可能产生增根，因此必须验根。

不同的地方：化成的整式方程一个是一元一次方程，另一个是一元二次方程。这就是我们今天要学习的：可化为一元二次方程的分式方程。

评：教师不是单纯地让学生去掌握解题的基本技能，而是积极引导学生自己去尝试，通过一些观察、分析、比较来揭示问题的本质特征。这样的学习方法有利于使学生把所学的知识内化。同时，也只有在学生充分认识后，教师再提出本节课题，才显得十分自然贴切。

师：从刚才这道题的解题过程中，我们可以看到解题的第一步就是在方程两边都乘以各分式的最简公分母，将分式方程化为整式方程。因此，准确地找出最简公分母是解分式方程的关键一步。我这里有四个分式方程，请同学们找出它们的最简公分母。(www.chuimin.cn)

生8：第（1）小题的最简公分母是（x＋3）（x－3）。

生9：第（2）小题的最简公分母是（2－x）（x－3），噢，是（x－2）（x－3）。

师：对，这里要注意，应把（2－x）变为－（x－2）。

生10：第（3）小题的最简公分母是x（x－5）2。

生11：第（4）小题的最简公分母是（x＋2）（x－2）。

师：请你考虑一下，这个方程中各分式的分母因式分解的结果是什么？

生11：（x＋2）（x－2），x（2－x），x（x＋2）。

师：那么它们的最简公分母是什么？

生11：x（x＋2）（x－2）。

师：很好，这四位同学把四个方程的最简公分母都准确找出来了，找的方法就是对各个分母进行因式分解，然后确定各分母的最简公分母，这是解分式方程的关键一步。另外，解分式方程有可能产生增根，所以我们要验根，这一点很重要。我们再来看这四个方程，如果有增根，那么哪些数可能是它们的增根呢？

生12：第（1）小题，若方程有增根，那么可能是＋3或－3。

生13：第（2）小题，若方程有增根，那么可能是＋3或＋2。

生14：第（3）小题，若方程有增根，那么可能是＋5或0。

生15：第（4）小题，若方程有增根，那么可能是0或＋2或－2。

师：好，我们刚才说过，解分式方程存在产生增根的可能性，那么是不是每个分式方程都会产生增根呢？请同学们把这里第（2）小题做一下，看看它的结果如何？

［全体学生做练习，一学生板演］

师：现在让我们来看看黑板上他做的题目，方程两端都乘以分式的最简公分母，将分式方程化为的整式方程是一元二次方程，解得这个方程的根是：x 1=－1，x 2=6，最后检验，检验的结果是x 1=－1，x 2=6都使得最简公分母不等于零，这说明什么？

生众：说明它们都是原方程的根。

师：那么解这个分式方程有没有产生增根呢？

生众：没有。

师：对，这说明分式方程有可能产生增根，但不是每个分式方程都一定产生增根，因此解分式方程一定要写出检验过程。

评：这里一组训练题的编排比较科学合理。从目的来看，既巩固了当堂新知识，又培养了学生正向、逆向的思维能力；从内容来看，既巩固了学生解题技能，又突出了本节课的重点；从训练题的编排顺序来看，既体现了“序进原理”，又符合学生实际水平，能使绝大多数学生顺利完成，因而有利于学生达到教学要求。

师：好，我这里还有一个分式方程，会解吗？ pagenumber_ebook=43,pagenumber_book=33 （教师板书题目）。

师：这个方程的最简公分母是什么呢？这个方程怎么解呢？请同学们思考一下，再回答。

生16：去分母。

师：请这位同学说一说。

生16：解：方程两边都乘以分式的最简公分母（x 2＋1）2，约去分母，得：

（x＋5）2－5（x＋5）（x 2＋1）=－6（x 2＋1）2，

［教师随学生口述板书］

师：好，现在你看看这是一个几次方程？

生16：四次。

师：它有没有三次项？

生16：有。

师：那么它是不是双二次方程？

生16：不是。

师：对，方程中不仅有四次项，三次项，还有二次项一次项和常数项，这是一个一般的高次方程，与我们学过的简单高次方程不一样，看来解这个方程目前还是困难的，那么怎么办呢？

生17：用换元法。

师：怎样换元？

生17： pagenumber_ebook=44,pagenumber_book=34 。

原方程化为：y 2－5y＋6=0。

师：用换元法后，分式方程化为什么样的方程？

生17：是一元二次方程。

师：对，这说明在解可化为一元二次方程的分式方程时，去分母不是唯一的解法，对于结构较为特殊的分式方程，我们可以采用换元法来解，先得出一个关于y的一元二次方程，要注意先求出y，以后还必须再代回去求出x的值。

至于换元法今天这节课我们就讲这些，下一节课我们再继续学习利用换元法来解分式方程。

评：这里又编排了一个例题，旨在培养学生思维的灵活性。学生在掌握分式方程一般方法的基础上，通过本题的启发又想到还能用换元法，使学生对本节课的知识内容有了进一步的理解，从而使学生运用知识分析和解决问题的能力得到进一步的发挥。

师：今天这节课我们通过复习可化为一元一次方程的分式方程的解法，自己学会了如何解可化为一元二次方程的分式方程的解法，它们是通过去分母法或换元法从而将分式方程化为整式方程来解的。

请同学们注意两点：第一，去分母法解分式方程的关键一步是准确找出最简公分母；第二，解分式方程有可能产生增根，所以一定要把解得的整式方程的根代入最简公分母，进行验根。

到现在为止，可化为一元二次方程来解的方程，我们已经学习了两种，一种是简单的高次方程，它是通过因式分解或换元法将方程化为一元一次方程或一元二次方程来解的；另一种就是今天学习的分式方程，它是通过去分母法和换元法将分式方程化为一元一次方程或一元二次方程来解的。

今后我们还要继续学习其他一些可化为一元一次方程或一元二次方程来解的方程。

总评：这节课的教学内容得到了整体优化，尤其教与学的两个方面积极性都得到了较好发挥。其主要特点：

（1）教师十分注意学生的心理活动，通过提问、板演、练习、议论等活动形式，让全班同学在教师指导下，全神贯注地参与教学活动全过程，使课堂气氛显得十分轻松，以提高学生学习兴趣与效率。

（2）教师能合理安排好教学环节，做到胸有成竹。因此，教学中采用的教学方法与教学手段都比较恰如其分，从而充分发挥了学生动手、动口、动脑的作用，以提高课堂教学效果。

（3）教师有效地控制教学进程，同时还通过各种途径及时获得学习情况的信息，并及时反馈和矫正，排除了学习进程中的障碍，使全体学生都能当堂达到规定的教学目标，为防止成绩分化和大面积提高教学质量奠定了基础。

上海青浦区实验中学三十年教育活动改革

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