上海青浦区实验中学：三十年教改实验阶段

数改实验小组为了深入探索筛选所得的主要经验在教学过程中的作用以及在不同类型学校、不同程度班级运用这些经验的可行性，青浦数改实验小组从1981年9月起，开展了为期三年运用“尝试指导”和“效果回授”等心理效应改革数学教学的科学实验。整个实验在初中阶段进行。研究方法以自然实验法为主，样本里实验组与对照组各为5个教学班，共440名学生参加，其分布在城镇重点中学（即青浦中学初中部）、一般完全中学和农村初级中学等三种类型的五所不同学校之中。初中入学时，样本学生的小学数学基础以及数学方面的思维能力水平经过预测，然后分组编班。实验班与对照班教师的平均教学水平尽量做到比较接近。我们青浦中学初中部作为实验班其关键是要不折不扣地贯彻“尝试指导、效果回授”的实验因子。也就是实验班的教学方法是将教材组织成一定的尝试层次，通过教师指导学生尝试来进行教学；同时又要非常注意回授学习的结果，以强化所获得的知识和技能。

所以，我们十分注重按实验要求的标准备课、教学，随时进行讨论反思，使我们的教学过程和预设的实验效果吻合。以下是两节实验班的教学实录案例，使教师们了解实验课的奥妙所在。

实验教案1　教材初中二年级《等腰三角形的判定》

执教　周一凡（所属单位：青浦中学初中部）

师：前面我们学习了等腰三角形的性质，哪位同学来叙述一下？

生：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等，简称：等边对等角；等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

师：很好。下面有这样一个问题：如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，倘若一不留心，它的一部分被墨水涂没了（用黑纸遮挡，如图1-1所示），只留下一条底边BC和一个底角∠C。同学们想想看有没有办法把原来的等腰三角形ABC重新画出来？大家试试看。

图1-1　等腰三角形ABC被墨水涂没

记：学生先画出残余图形，略作思索，然后独立画图。画好以后，同学间相互交流画法。教师在全班巡视中不时参加同学间的议论。最后请两名学生回答画图的方法。

生甲：先用量角器量出∠C的度数，然后以BC为一边，B为顶点画出∠B=∠C（如图1-2左所示）。

图1-2　画等腰三角形ABC

生乙：取BC边上的中点D，用三角板过D作BC的垂线，与∠C的一边相交得到一个交点A，联结AB（如图1-2右所示）。

师：很好！刚才我看了一下，同学们大都想出了上面两种画法。第一种方法，用作出相等的角来画。第二种方法，用过一边中点作垂线的方法画。同学们，你们认为这样画出来的三角形都是等腰三角形吗？

生众：是的。

师：到底是不是等腰三角形？这就是今天我们所要学习的内容——“等腰三角形的判定”（板书课题）。

要判定刚才作出的三角形是等腰三角形，应当加以论证。我们先分析第一种画法，即在两角相等的条件下能否判定画出的是等腰三角形？大家想一想，在这里已知是什么？求证又是什么？请一位同学回答一下。

评：第一种画法正好可以得出这节课要学的判定定理。第二种画法则是今后学习线段垂直平分线性质的事实基础。

据了解，当时学生还有将参与图形对折的第三种画法，而这又是等腰三角形对称性的体现。几何来源于现实生活，对于初学平面几何的学生来说，选择适当时机让他们从个体实践经验中学习，可以提高学习的主动性。在这里，等腰三角形的判定定理不是由教师给出，而是让学生先凭经验画图，那么画出的图形究竟是不是等腰三角形呢？产生了问题，然后从问题出发，得出判定定理。这样做，改变了过去学生只是被动接受的状况，因此，学生学习的兴趣和积极性有所提高。

生：已知：在△ABC中，∠B=∠C。求证：AB=AC。

师：考虑一下，这个题目怎样来证明？现在告诉我们的是两个角相等，要求证的是两条线段相等。而要证明两条线段相等，常用什么方法？

生众：三角形全等。

师：图片上有吗？

生众：没有。

师：那怎么办？

生众：添辅助线。

师：同学们动笔做做看，怎样添辅助线？又怎么证明？把主要证明过程写一写。

记：学生认真练习，教师走下讲台巡视，了解情况。待全班学生基本完成证明之后，教师又要求学生相互议论还有哪些不同的证明方法？全体学生对不同的证明很感兴趣。接着，教师请学生谈谈自己是怎么证明的。

生丙：作∠A的平分线AT，交BC于T（如图1-3）。

在△BAT和△CAT中

∴△BAT≌△CAT（角角边）

∴AB=AC（全等三角形对应边相等）

图1-3　作∠A的平分线AT

师：这位同学是添了∠A的平分线，通过角角边来证明三角形全等，从而得到AB=AC。噢，还有其他方法吗？

生丁：过A点作AD⊥BC，垂足为D（如图1-4）。

∵AD⊥BC

∴∠ADB=∠ADC

在△ADB和△ADC中

∴△ADB≌△ADC（角角边）

∴AB=AC

图1-4　过A点作AD⊥BC

师：这位同学是作了BC边上的高AD，证明两个直角三角形全等，然后得到对应边相等。还有其他方法吗？

生戊：作BC边上的中线AM（如图1-5），用边角边证全等。

图1-5　作BC边上的中线AM

∵AM是BC边上中线，

∴BM=CM，嗯……

记：这名学生发现不对，停顿不讲了。不少学生纷纷指出她的错误，在△AMB和△AMC中

这是“边边角”，不能证明两个三角形全等。

评：由于这节课利用学生的画图经验导出等腰三角形的判定定理，因此学生感到亲切，自然，论证兴趣很浓。课上出现多种证明的方法，虽然第三种证法是错误的，学生在证明的中途发现问题，但这种错误尝试可使学生吸取教训，增长解题的能力，将来解决实际问题时，可以少走“弯路”，避免盲目尝试。在这节课上完之后，有学生还提出不添辅助线的证法：如用反证法证，假设AB与AC不相等，根据一个三角形中大边对大角的道理，∠B与∠C也不相等，与题设矛盾，所以一定是等腰三角形，又如直接利用全等三角形证，在△ABC和△ACB中，应用角边角可证明它们全等，于是AB=AC。学生能想出如此多样的证明方法，可见兴趣的力量是不能低估的。“知之者，不如好之者；好之者，不如乐之者”，由“好”和“乐”所产生的追求和探索知识的迫切性是克服一切困难的内部动力。

师：经过证明我们知道，刚才大家通过画图获得的那个几何命题是正确的，它可以作为——“等腰三角形的判定定理”。同学们能不能用语言来正确叙述一下这条判定定理？

生：有两个底角相等的三角形是等腰三角形。

师：大家有不同意见吗？在没有说明它是等腰三角形之前，能不能讲“底角”？

生众：不能！

记：教师擦去“底”字，定理变为“有两个角相等的三角形是等腰三角形”。然后，教师要求学生翻开课本，集体朗读课本上的判定定理：

“如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。”

师：课本上讲的和同学们讲的似乎有些不同，但实质上是一致的。我们之前讨论的等腰三角形没讲明是哪两条边相等，而课本上讲清楚了，是相等的角所对的边相等，所以这条判定定理简称“等角对等边”。第二种画法能不能判定画出的三角形也是等腰三角形呢？这个问题留给大家课后去考虑。有了这条判定定理，今后我们证线段相等，又多了一种方法，在一个三角形中，如果角相等了，就可以得到边也相等。下边我们一起应用这条定理来研究一些题目。先看第一个题目。

求证：如果三角形一个外角平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形。

想一想，题设是什么？结论又是什么？如何写成已知、求证的形式？

生：题设是三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，结论是这个三角形是等腰三角形。

师：结合这张图（图1-6），具体说一下。

图1-6　三角形一个外角平分线平行于三角形的一边

生：已知：AE∥BC，∠1=∠2。

求证：AB=AC。

师：这个题目是证明一个三角形中的两条边相等。应该怎样证？

生众：只要证明两个角相等。

师：题目已知的是∠1=∠2，能不能使已知的两个角相等和要求证的两个角相等发生关系？思考一下，请同学口答。

记：不少学生举手要求解答。此时教师指定一名学生口述，教师详细板书证明过程。

∵AE∥BC（已知）

∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等）

∠2=∠C（两直线平行，内错角相等）

∵∠1=∠2（已知）

∴∠B=∠C（等量代换）

∴AB=AC（等角对等边）

师：很好。这题要证明△ABC的两边AB=AC，其实只要证明∠B=∠C，由已知的角平分线得∠1=∠2，通过平行线性质就容易证出。接下来，我们研究第二个题目。

如图（图1-7），△ABC中，∠B=∠C，BD=CE。求证∠1=∠2。

图1-7　∠B＝∠C，BD＝CE

这个题目是证明两个角相等，看清∠1和∠2在图中的位置。请同学们思考如何充分利用已知条件。

记：学生在图上比画，简要地记下证题的思路，个个都很专心，课堂上鸦雀无声。

师：就做到这里。哪位同学愿意把你怎么思考的主要过程讲一讲？

生己：要求证∠1=∠2，就必须有AD=AE；要得到AD=AE，我是通过三角形全等的方法来解决的。

师：哪两个三角形？

生己：△ABD和△ACE。

师：你用什么方法证明它们全等？

生己：我是用边角边的方法。∠B=∠C，即AB=AC，且BD=EC，则AD=AE。

师：这位同学根据已知条件∠B=∠C，利用刚才学到的判定定理“等角对等边”得出了AB=AC，再结合已知BD=EC，∠B=∠C，用这三个条件推出了△ABD和△ACE全等。于是AD=AE，最后在△ADE中用性质定理“等边对等角”得出∠1=∠2

生庚：要证∠1=∠2，也可以用等角的补角相等来证，就是先证∠ADB=∠AEC。

师：∠ADB=∠AEC怎么得来的？

生庚：是用三角形全等，就是从△ABD≌△AEC得出。

师：这位同学是这样证明的：

方法二：……△ABD≌△ACE⇨∠ADB=∠AEC⇨∠1=∠2

生辛：我还可以用全等三角形的对应角相等来证。

师：哪两个三角形全等？

生辛：△ABE和△ACD。

师：这两个三角形为什么全等？

生辛：因为BD=CE，所以BD＋DE=CE＋ED，就是BE=CD，加上∠B=∠C，AB=AC，所以三角形全等。

师：对，很好！这位同学先由等式性质得出BE=CD，然后根据∠B=∠C，结合今天学习的等腰三角形的判定定理得AB=AC，最后利用边角边得到△ABE与△ACD全等，马上得出对应角相等。

很好！这道题同学们想出了很多方法。第一种方法：把∠1和∠2理解为同一个三角形的两个角，用“等边对等角”的思想，结合三角形全等来得到。第二种方法：通过等角的补角来证，也是结合三角形全等来得到。第三种方法：是把∠1和∠2直接看作两个全等三角形的对应角来证。大家想出的方法很多，能够从不同的途径去考虑。

评：这两道基本例题安排得很好。第一道题比较容易做，是等腰三角形判定定理的简单应用。编排在练习的开头，让所有学生都能顺利完成，由浅入深是必要的；第二道题则稍复杂，证明时既要应用判定定理，又要应用性质定理，绕了个弯，而且可有几条证明途径，例如直接从△ABE≌△ACD能简捷地证出∠1=∠2，这又可以看出学生灵活运用以往学过知识的能力。在数学教学中，配置合适的习题，并且有效地利用它们，对于学生在课堂上独立地、积极地进行认识活动具有重要作用，值得引起注意。

师：下面我们一起来研究第三个题目。

如图（图1-8），在△ABC中，已知∠B=∠C，BO平分∠B，CO平分∠C。(www.chuimin.cn)

请同学们想想看，在这张图上，由这两个已知条件你自己能导出什么结论？

生：可以得出∠OBC=∠OCB。

师：能不能从道理上说明一下？

生：因为∠B=∠C，BO平分∠B，CO平分∠C，根据等量的一半仍相等，可以得到∠OBC=∠OCB。另外还可以得到OB=OC，理由是“等角对等边”。

图1-8　∠B＝∠C，BO平分∠B，CO平分∠C

图1-9　过O作一条直线EF和边BC平行

师：好！现在我把这个题目变化一下，大家看清楚。就在这张图上，过O作一条直线EF和边BC平行，与AB交于E，与AC交于F（图1-9）。请同学们考虑两个问题：（1）仔细寻找一下，这张图中有几个等腰三角形？为什么？（2）添上去的这条线段EF和图中的线段EB、FC之间有没有关系？有的话是怎样一种关系？

记：学生各自思考一二分钟后，教师要求他们相互讨论，顿时气氛热烈。有些学生认为有两个或三个等腰三角形；另一些学生则认为共有五个等腰三角形，还高兴地把自己的理由说给其他同学听。在讨论线段EF时，不同意见更多了，有的说O是EF的中点，因此EF是EB或FC的两倍，还有的说EF等于EB与FC的和……教师在各个讨论组之间来回巡视，并参加一些小组的讨论。

师：讨论就到这里，请同学们发表意见。先回答第一个问题，图中有几个等腰三角形？

生：有五个。

师：哪五个？

生：△ABC、△OBC、△AEF、△EOB、△FOC。

师：请你再讲讲理由看，△ABC为什么是等腰三角形？

生：因为∠B=∠C，“等角对等边”，所以AB=AC。

师：△OBC刚才已证过，△AEF呢？

生：因为EF∥BC，所以∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，因为∠B=∠C，所以∠AEF=∠AFE，所以AE=AF。

师：△EOB为什么是呢？

生：因为OB平分∠B，所以∠1=∠2，因为EF∥BC，所以∠2=∠3，所以EB=EO。同理可得△FOC也是等腰三角形。

师：很好！大多数同学都看出是五个等腰三角形。

第二个问题，添上去的线段EF和EB、FC之间有没有关系？有的话是怎样一种关系？

生：有关系的。EO、FO、EB、FC这四条线段都相等。

师：讲讲理由看。

生：在两个三角形△OEB和△OFC中，因为OB、OC分别是∠ABC、∠ACB的平分线，所以∠1=∠2、∠4=∠5，因为∠ABC=∠ACB，所以∠1=∠4。又因为△OBC是等腰三角形，所以OB=OC。因为△AEF是等腰三角形，所以∠AEF=∠AFE，利用等角的补角相等得出∠OEB=∠OFC，所以△OEB≌△OFC，得到EO=FO，EB=FC，再因为EB=EO，所以EO、FO、EB、FC这四条线段都相等。

师：大家听懂没有？这位同学是用角角边证△OEB≌△OFC，得出EO=FO，EB=FC，再由EB=EO，证出四条线段都相等的。还有其他的证明方法吗？请同学们回去思考。除了这四条线段都相等外，还有其他结论吗？噢，他还没有讲完。

生：EF是EB或FC的2倍。

图1-10　EF∥BC

师：很好。四条线段都相等了，EF就是EB或FC的2倍了。

生：还有，EF等于EB＋FC。

师：对！还可以得到EF=EB＋FC。

我把这个题目再改变一下，原来∠B、∠C是相等的，现在变成不等，但是角平分线不变，BO、CO还是∠B、∠C的角平分线。平行线还是不变，EF∥BC（如图1-10）。再认真想一想，这个图形中还有没有等腰三角形？有的话又有几个？EF和EB、FC之间还有没有关系？有的话又是怎样一种关系？

生：没有等腰三角形。

师：他认为这图上没有了。同学们再仔细观察一下，有没有？

生众：有的。

师：是哪个？

生：△EOB和△FOC。

师：理由？

生：因为两直线平行，内错角相等，得到∠EOB=∠OBC，因为OB是角平分线，所以∠EBO=∠OBC，所以∠EOB=∠EBO，△EBO是等腰三角形。△FOC的道理是一样的。

师：噢！还是有等腰三角形的，不过是由五个变成了两个。第二个问题，线段EF和EB、FC之间还有没有关系？有的话又是怎样一种关系？

生：只有EF=EB＋FC这个关系。

师：他认为只有一种关系，在等腰三角形△EBO中，EB=EO，在等腰三角形△FCO中，FC=FO，合起来就是EF=EB＋FC。这个题目，从原来两个角相等，变成了不等，但是角平分线和平行线这两个条件都没有改变，△EBO和△FCO还是等腰三角形，所以EF=BE＋FC的关系还是保持的。

评：这道讨论题比前面两道题目的要求更高些。第一，它要求学生能根据已给条件自行推测可能的结论；第二，通过图形的变化、引申，让学生在条件发生改变时观察论证结论的变化。这些做法，可逐步培养学生举一反三，灵活转换的基本能力，发展学生的思维，提高课堂教学的时间利用率。课后，我们曾以不同类型的题目进行当堂效果测验，平均分为89．5分，可见适当的变式练习，是使学生熟练掌握基本解题技能技巧的有效措施之一。

师：今天这节课我们学习了什么呢？第一，我们学习了等腰三角形的判定定理：“等角对等边”。它与前面我们学过的等腰三角形的性质定理：“等边对等角”，都是同一个三角形中边角间的一种相依关系。即在一个三角形中，边等可以得角等，角等可以得边等。今天初步应用判定定理研究了一些题目。第二，这个判定定理是同学们通过画图，估计，然后自己加以证明得出来的。在证明定理及应用定理时，同学们都注意到从几种途径来思考，得到了多种解法。在第三个练习中，同学们不仅能够根据已知条件自行推测可能的结论，而且还能在已知条件发生某些改变时，观察结论的变化，这些都是训练我们思维能利的有效方法。请同学们在平时作业中也要多作这样的尝试。

今天作业：课本第104页，第8、9、11、13题。还有刚才讲的思考题：第二种画法得到的是不是等腰三角形？为什么？

评：本节课除了前面已经评述过的创设问题情境，激发认识兴趣，以及组织尝试练习等特点外，还采用讲、议、练结合的方法，教师通过观察、提问、巡视、谈话等活动，及时了解学生的学习、练习过程，随时回授，调节教法，尽量加强有针对性的个别指导。只有把发展学生思维与随时把握学生的学习效果两者结合起来，才能做到“实而不死，活而不虚”。此外，这节课的教学语言似乎拘谨了些，有些地方对学生勉励的强度略显不够。这对于一位青年执教老师来说，可在今后的教学实践中继续磨砺，不断提高。

实验教案2　教材初中一年级《用拆添项法分解因式》

执教　陆行麟（实验区调入实验中学）

师：前几节课，我们学习了因式分解的三种基本方法：提取公因式法、应用公式法和分组分解法，现在请同学们想一想，X 6－1这道题可用什么方法分解？

生：可用平方差公式分解，也可用立方差公式分解。

记：接着教师要求全班学生笔练，并请两名学生板演。学生有两种解法：

解法一：X 6－1=（X 3）2－1=（X 3＋1）（X 3－1）

=（X＋1）（X 2－X＋1）（X－1）（X 2＋X＋1）

解法二：X 6－1=（X 2）3－1=（X 2－1）（X 4＋X 2＋1）

=（X＋1）（X－1）（X 4＋X 2＋1）

师：大家思考一下，同一道题，用两种方法做，为什么答案不同呢？

记：此时学生议论纷纷，有的说，“一定是谁做错了。”也有学生认为两种解法都没有错。另一些学生，提出自己的猜想：也许X 4＋X 2＋1还能分解下去，得到（X 2－X＋1）（X 2＋X＋1）。这样两个答案就一样了。

评：教师出示这道可有两种不同解法的题目，旨在利用问题的不定性来诱发学生的认识兴趣。学生具有好奇、好问、好动等心理特征，潜伏着巨大的学习动力，出示本题两个答案后，学生急于要弄个水落石出，引起“认知冲突”。“冲突”一旦造成，这种潜力便将转入活动状态。

师：刚才有同学提出的猜想很好！我们一起看一下：X 4＋X 2＋1与（X 2－X＋1）（X 2＋X＋1）这两个代数式是否相等？前面的多项式能否分解成后面两个因式的乘积？

记：学生面露难色，因为利用原有的知识技能还不会把X 4＋X 2＋1再行分解。但也有学生提出可按多项式的乘法演算把后面两个相乘的因式展开，看它是否与前面的多项式相等，教师请这名学生口述展开步骤，并把结果写在黑板上：

（X 2－X＋1）（X 2＋X＋1）

=［（X 2＋1）－X］［（X 2＋1）＋X］

=（X 2＋1）2－X 2

=（X 4＋2X 2＋1）－X 2

=X 4＋X 2＋1

学生们看到猜想被证实，似乎有所领悟，教师顺藤摸瓜，继续激励学生。

师：从上面的演算可知，X 4＋X 2＋1确实可以分解为（X 2－X＋1）（X 2＋X＋1），那到底如何分解？请同学们试试看，看谁能最快发现新的分解方法！

记：笔练数分钟后，有很多学生举手要求演示，看来他们由于收到乘法演算的启示，都能正确地想出拆项分组的方法分解因式。教师选择一名学生作答。

生：X 4＋X 2＋1=（X 4＋2X 2＋1）－X 2=……

师：你为什么把X 2拆成2X 2与－X 2两项呢？

生：因为这样一拆，前面三项正好是完全平方，可以用分组分解法继续分解下去。

记：教师请这名学生总结一下把一项拆成两项后进行分组分解的步骤要点。然后，一面复述这些要点，一面把解题过程完整地书写在黑板上。其他学生由于自己尝试过，因此边听边记，特别认真。

评：这里教师先让学生作乘法演算，然后向学生提出尝试要求。让学生通过可逆性联想，亲自发现因式分解的新方法，既有一定的难度，但又是大多数学生经过“跳一跳”能够达到的。这对控制学生的注意，锻炼他们的思维能力均有较大益处。

师：请同学们拿出课堂练习本做几个因式分解的练习：

（1）X 4－9X 2＋16

（2）X 4＋3X 2Y 2＋4Y 4

（3）X 4－14X 2＋1

（4）X 4＋4

记：学生练习，教师巡视，对几名较差的学生，当面辅导。此外，还注意发现一些具有代表性的错误。全班学生练完后，经教师检查，第（1）、（2）题无甚问题。挑选两名学生把第（3）题解题过程抄写在黑板上。

生甲：X 4－14X 2＋1=（X 4－2X 2＋1）－12X 2……（在有理数范围内）无法分解下去。

生乙：X 4－14X 2＋1=（X 4＋2X 2＋1）－16X 2=……能正确分解到底。

师：两位同学都能应用拆项方法，正确地配出完全平方，但前一位同学配方后做不下去，后一位同学配方后做下去了，可见，不能照搬配方的形式，而要考虑怎样才能继续分解下去。

记：第（4）题要用添项法解，由于学生拆项法掌握得比较好，所以很自然地就“迁移”过去了，基本上都能解出。此时教师进一步提问学生。

师：如果把第（4）题的常数改为16怎样？

生：X 4＋16=（X 4＋8X 2＋42）－8X 2

=（X 2＋4）2－8X 2（在有理数范围内）不能继续分解下去。

师：你看该把常数改为多少时才能分解？

生：64可以的。这时X 4＋64=（X 4＋16X 2＋64）－16X 2，可以继续分解。

师：我们一起小结一下：（1）刚才大家学会了分解因式的一种新方法，就是通过拆项或添项的方法把原来的多项式变形，然后再适当分组以便进行因式分解。它是分组分解法的一种特殊类型。（2）从已做过的几道题来看，拆项的目的是“补全”为一个完全平方，由此出发，用分组分解法再继续做下去。

评：这里安排的一段练习，有两个目的。其一，是让学生对于新了解的拆项法进行模仿应用方面的尝试，以便通过重复练习，回授关于学生掌握情况的信息，及时纠正各种偏差，提高准确率，巩固新方法；其二，采用变式，设置新障碍，如第（3）题比较两种配方方法，第（4）题要用添项法，而且一题多变。通过方法对比和题目变化，让学生进一步体会拆项添项方法的关键所在。这样，既有重复模仿，又有探求，学生便能从同类问题的练习中归纳出这种技能的实质内容。末了，教师就题论题进行小结，把拆添项方法纳入学生原先具有的分组分解的“认知结构”中去，承前启后，指导学生进一步思考，为下面的教学内容作准备。

师：现在请同学们思考一轮这样一道题目：因式分解X 3－13X＋12，这道题与前面的题目不一样，拆项或添项后不能配成完全平方，大家试试看，该怎么办？

记：经过二三分钟的讨论和试做，许多学生争先恐后要求解答，教师依次请几名学生作答。

生丙：X 3－13X＋12=（X 3－1）－（13X－13）=……

生丁：X 3－13X＋12=（X 3－X）－（12X－12）=……

生戊：X 3－13X＋12=（X 3－9X）－（4X－12）=……

生己：X 3－13X＋12=（13X 3－13X）－（12X 3－12）=……

记：学生都能正确地分解到底，课堂气氛活跃。师生一起对这几种解法进行比较、汇总，指出哪些解法简便，哪些繁复一点，教师启示学生解题时要善于观察和分析。此时还有几名学生举手要求作答，因为时间关系，只能留着课后交流，据课后了解，他们还有几种解法，如：

生庚：　X 3－13X＋12

=（X 3－X 2）＋（X 2－13X＋12）

=X 2（X－1）＋（X－1）（X－12）

=（X－1）（X 2＋X－12）

=（X－1）（X－3）（X＋4）

评：这道练习，学生经自己尝试，有许多不同解法，课堂气氛达到了高潮。这堂课的教学，由于从较低水平到较高水平层层递进，因此学生始终处在积极思考中。最后，不但顺利地掌握了基本方法，而且能从不同的角度观察问题，一题多解，并探究简单易行的解题途径。

师：这堂课我们掌握了用拆添项法分解因式。请大家注意：对于一般的题目来说，第一，拆添项后，不一定都要配成完全平方，通常只要能用分组分解法继续分解就行了；第二，拆项时，有的可分裂中项，但也可以分裂常数项或其他项，这要看具体题目而定，因此审题时必须认真，一种方法不行再试另一种方法。

今天的课外作业：课本第113页第5题，其中第（1）题改为4X 2＋1，第（2）题改为X 4－12X 2＋4，第（3）、（4）题不变。另外，增加一道思考题：用拆添项法分解X 5－1，这题供同学们思考，不必做在作业本上。

评：过去教师教这样的内容，往往用讲解例题的方式进行，解题方法是教师想好的，学生主要是听和记，有依赖性。这堂课，重视了学生在学习过程中的主动活动，培养和发展了学生的独立思考和创造能力。本课结束后，试验组用七道练习对全班51名学生进行检查，七道题中，前四道属于本课要求范围，后三道要求颇高，如因式分解X 6－3X 2＋2及X 3＋X 2＋X－3等，结果全对或基本全对的学生占31%，错四道以上的学生占14%；有3名学生在17分钟内全部做完，在24分钟内做完五道以上的学生共23名。

三年后，青浦数学教学改革实验以成绩（合格率优秀率）、能力（阅读、思维、消除自我限制）等方面与对照班在统计上显示非常显著的差异，达到实验开始时预设大面积提高教与学质量实验目标。对参加实验的青浦中学（初中部）来说，这既是寻找到一条渴望已久的大面积提高教学质量的有效之路，也使获得在教育理论素养、教学技能和教育科学研究能力大幅度提升的不可多得的机遇。

更重要的是通过三年数改实验班，对照班的教学工作，使我校参加数学改革实验的实验工作教师基本掌握一整套数学改革科学实验的理论与研究方法。同时我们学校其他教师耳濡目染，对教育教学改革从感到新奇、逐步认同、到结合自己实际的教育教学，“暗暗”地进行学一学、试一试。使全校出现一边是数学教学改革在进行严格、科学的实验；一边有一定数量的教师在认真学习、推广实验班的实验因子。初步形成我校教育教学改革的新态势。