基于计算机数字图像处理的小波分析和应用

2023-11-19 理论教育版权反馈

【摘要】：1986年数学家Y.Meyer 构造出第一个真正的小波基，并与S.Mallat 合作建立了构造小波基的方法及其多尺度分析之后，小波分析才开始蓬勃发展起来，比利时女数学家I.Daubechies 撰写的《小波十讲》对小波的普及起了重要的推动作用。因此，小波变换在信号分析和图像处理领域获得了广泛的应用。通过调整尺度因子，可以得到具有不同时频宽度的小波以匹配原始信号的不同位置，达到对信号的局部分析的目的。

小波变换的概念是法国工程师J.Morlet 和A.Grossmann 在1974年提出的。1986年数学家Y.Meyer 构造出第一个真正的小波基，并与S.Mallat 合作建立了构造小波基的方法及其多尺度分析之后，小波分析才开始蓬勃发展起来，比利时女数学家I.Daubechies 撰写的《小波十讲》（Ten Lectures on Wavelets）对小波的普及起了重要的推动作用。小波分析是调和与分析这一数学领域半个世纪以来众多科学家的工作结晶，小波分析优于传统傅里叶变换的地方是，它在时（空）域和小波域同时具有良好的局部化性能，并通过伸缩和平移运算对信号进行多尺度细化分析（Multiscale Analysis），从而解决了傅里叶变换不能解决的许多问题，被誉为“数学显微镜”。因此，小波变换在信号分析和图像处理领域获得了广泛的应用。

小波的数学定义为：

对于函数ψ（x）∈L2（R），若满足

则这个函数就可以是一个基本小波。对小波进行平移、伸缩生成的函数族

构成一组小波基，其中a 是尺度伸缩参数，b 是位置平移参数。

用上述小波基对函数f（x）∈L2（R）进行的连续小波变换定义为

小波变换实质上是原始信号与经过尺度伸缩后的小波函数族的相关运算，运算结果称为小波系数。通过调整尺度因子，可以得到具有不同时频宽度的小波以匹配原始信号的不同位置，达到对信号的局部分析的目的。式（2－92）的卷积形式为

(Wψf)(b，a)＝f*ψb，a

可见，从滤波器的观点出发，小波变换又可看成是用一组不同尺度的小波滤波器对原始信号进行的滤波运算，从而将信号分解到一系列频带上。(www.chuimin.cn)

由小波变换的结果可以重构原始信号，小波变换的重构公式为

式中，

上述过程必须满足完全重构条件

同时，Ψ （x）还应满足窗函数的约束条件