要比较准确地描绘出一般函数的图形，仅用描点作图是不够的，为了提高作图的准确性，可将前面讨论的函数性态应用到曲线的作图上，即先利用函数的一阶、二阶导数，分析函数的单调性、极值、凹凸性与拐点等整体性态，并求出曲线的渐近线，然后再描点作图，称这种作图的方法为分析作图法.其一般步骤如下：（1）确定f（x）的定义域、间断点，并讨论函数的奇偶性、周期性.（2）在定义区间内求函数f（x）的一阶、二阶导数为零或不......
2023-11-19
高等数学上册立体图形体积
【摘要】：1）旋转体的体积由平面内的一个图形绕该平面内的一条定直线旋转一周而成的立体称为旋转体，这条定直线称为旋转体的轴.设由连续曲线y＝f（x）与直线x＝a，x＝b及x轴围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成一旋转体，下面计算它的体积Vx（图6－14）.图6－14（1）取x为积分变量，x的变化范围为［a，b］.（2）求体积微元：任取区间［x，x＋dx］，用｜f（x）｜作为小柱体底面半径，则体积微元为dVx＝π｜
1）旋转体的体积
由平面内的一个图形绕该平面内的一条定直线旋转一周而成的立体称为旋转体，这条定直线称为旋转体的轴.
设由连续曲线y＝f（x）与直线x＝a，x＝b及x轴围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成一旋转体，下面计算它的体积Vx（图6－14）.
图6－14
（1）取x为积分变量，x的变化范围为［a，b］.
（2）求体积微元：任取区间［x，x＋dx］，用｜f（x）｜作为小柱体底面半径，则体积微元为
dVx＝π｜f（x）｜2dx＝π［f（x）］2dx
（3）旋转体的体积
同理，可求由连续曲线x＝φ（y）与直线y＝c，y＝d及y轴围成的曲边梯形绕y轴旋转而成的旋转体的体积Vy为（图6－15）
图6－15
例7 求由椭圆
围成的图形绕x轴旋转而成的旋转椭球体的体积.
解 旋转椭球体如图6－16所示，可看作由上半椭圆
及x轴围成的图形绕x轴旋转而成的.由公式（6－4）可得
图6－16
当a＝b时得到半径为a的球体的体积
例8 求两曲线x2＝2y与2x＋2y－3＝0所围平面图形绕x轴旋转所得立体的体积.
解 取积分变量为x.由
得两曲线的交点
所求体积是图6－17中的（直边）梯形ABCD和曲边梯形AOBCOD分别绕x轴旋转一周所得两立体的体积之差.所以
图6－17
(www.chuimin.cn)
此题能否用y作积分变量，读者可自行思考.
例9 把星形线
所围成的图形绕y轴旋转，计算所得旋转体的体积.
解 星形线的参数方程为：x＝acos3t，y＝asin3t，由图形的对称性知，所求体积为
2）平行截面面积已知的立体的体积
图6－18
设有一立体（如图6－18所示），在分别过点x＝a，x＝b且垂直于x轴的两平面之间，它被垂直于x轴的平面所截的截面面积为已知的连续函数A（x），求立体体积.
取x为积分变量，积分区间为［a，b］，对［a，b］的任意区间［x，x＋dx］，相应薄片的体积近似于底面积为A（x）、高为dx的柱体体积，即体积元素
dV＝A（x）dx
从而，所求立体的体积
例10 求由椭圆抛物面
与平面z＝c（c＞0）所围成的立体的体积.
解 用z＝z0去截立体得
由椭圆面积公式知，截面面积为πabz0，即A（z）＝πabz，由公式（6－6）可知
例11 计算底面是半径为R的圆，垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体的体积（如图6－19所示）.
图6－19
解 过x轴上点x而垂直于x轴的截面是正三角形，其边长为
高为
故截面面积为
由对称性可知，所求体积为
此题也可以用过y轴上的点y作垂直于y轴的平面截立体所得的截面来计算，读者不妨一试.
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2023-11-19
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2023-11-19
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2023-11-19
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