若函数f（x）≥0，则在几何上表示由曲线y＝f（x）、直线x＝a和x＝b与x轴围成的曲边梯形的面积.当函数f（x）≤0时，由定积分定义知在几何上表示由曲线y＝f（x）、直线x＝a和x＝b与x轴围成的曲边梯形（在x轴下方）的面积的相反数.图5－3一般地，若f（x）在［a，b］上既取得正值又取得负值，则在几何上表示在x轴上方图形的面积减去x轴下方图形的面积所得之差.如图5－3所示，有由几何意义易知，在......
2025-09-30
高等数学上册：定积分的元素法
【摘要】：为总结出定积分应用的一般思想和方法，我们先回顾一下用定积分求曲边梯形面积问题的方法和步骤.设f在区间［a，b］上连续，且f≥0，求以曲线y＝f为曲边的［a，b］上的曲边梯形的面积A.把这个面积A表示为定积分的思路是“分割、取近似、求和、取极限”，具体步骤是：图6－1分割：将［a，b］分成n个小区间，相应地把曲边梯形分成n个小曲边梯形，其面积记作ΔAi（i＝1，2，…
为总结出定积分应用的一般思想和方法，我们先回顾一下用定积分求曲边梯形面积问题的方法和步骤.
设f（x）在区间［a，b］上连续，且f（x）≥0，求以曲线y＝f（x）为曲边的［a，b］上的曲边梯形的面积A.把这个面积A表示为定积分
的思路是“分割、取近似、求和、取极限”，具体步骤是：
图6－1
（1）分割：将［a，b］分成n个小区间，相应地把曲边梯形分成n个小曲边梯形，其面积记作ΔAi（i＝1，2，…，n）.
（2）取近似：计算每个小区间上面积ΔAi的近似值
ΔAi≈f（ξi）Δxi （xi－1≤ξi≤xn）
（3）求和：得面积A的近似值
（4）取极限：得面积A的精确值
上述过程中我们注意到所求面积A有如下特征：(https://www.chuimin.cn)
（1）所求量（即面积A）等于所有部分量（ΔAi）之和，即
这一性质称为所求量对于区间［a，b］具有可加性.显然曲边梯形的面积A对于区间［a，b］具有可加性.
（2）对应部分区间［xi－1，xi］上的面积ΔAi可以用f（ξi）Δxi近似代替，即
ΔAi≈f（ξi）Δxi
且其误差仅是一个比Δxi高阶的无穷小量，这样和式
的极限才是A的精确值.
撇开A的几何背景，可以看到，当所求量对于区间［a，b］具有可加性时，该所求量U就能用定积分计算，而利用定积分计算的关键是求出部分量ΔUi对应的近似式f（ξi）Δxi.
从而，用定积分来表示量U的一般过程可以概括为：
（1）选取积分变量如x，并确定它的变化区间［a，b］.
（2）求微元.在区间［a，b］上任取一小区间［x，x＋dx］，将ΔU在［x，x＋dx］上的微元记为dU，取ξi＝x，则dU＝f（x）dx.
（3）列积分.得所求量
利用上述过程来解决问题的方法称为元素法（或微元法）.用元素法计算量U时，关键在于确定积分区间以及所求量U的元素dU.
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