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高等数学上册：定积分换元法

2023-11-19 理论教育版权反馈

【摘要】：定理1设函数f（x）在［a，b］上连续，函数x＝φ（t）满足条件：（1）φ（α）＝a，φ（β）＝b，且a≤φ（t）≤b.（2）φ（t）在［α，β］（或［β，α］）上有连续导数.则有公式（5－5）称为定积分的换元公式.证由于f（x）在［a，b］上连续，则存在原函数，在［a，b］上可积.设F′（x）＝f（x），则又｛F［φ（t）］｝′＝F′［φ（t）］·φ′（t）＝f［φ（t）］·φ′（t），于是

定理1　设函数f（x）在［a，b］上连续，函数x＝φ（t）满足条件：

（1）φ（α）＝a，φ（β）＝b，且a≤φ（t）≤b.

（2）φ（t）在［α，β］（或［β，α］）上有连续导数.

则有

公式（5－5）称为定积分的换元公式.

证　由于f（x）在［a，b］上连续，则存在原函数，在［a，b］上可积.设F′（x）＝f（x），则

又｛F［φ（t）］｝′＝F′［φ（t）］·φ′（t）＝f［φ（t）］·φ′（t），于是

从而

定积分有与不定积分相类似的换元公式，但在应用定积分的换元积分公式时应注意：原积分变量x换成新积分变量t时，积分限也要作相应变化，即“换元必换限”.

因此应用定积分的换元法计算定积分时就不需要回代这一步了，即求出f［φ（t）］φ′（t）的一个原函数Φ（t）后，只要把对应于新变量t的积分上、下限分别代入Φ（t），然后相减即可，不必换回原积分变量.

例1　计算 pagenumber_ebook=208,pagenumber_book=197

解　令即当x＝－1时，t＝3；当x＝1时，t＝1.于是

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例2　计算

解　令x－1＝t，即x＝t＋1，则dx＝dt.当x＝0时，t＝－1；当x＝1时，t＝0.于是

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例3　计算

解　令则dx＝4costdt.当x＝0时，t＝0；当x＝4时于是

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应用定积分的换元积分法时，可以不引进新变量而利用“凑微分”积分，这时积分上、下限就不需要改变.例如：

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例4　设函数 pagenumber_ebook=209,pagenumber_book=198

解　令x－1＝t，则dx＝dt.当x＝0时，t＝－1；当x＝2时，t＝1.于是

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例5　设f（x）在［－a，a］上连续，证明：

（1）如果f（x）是［－a，a］上的偶函数，则

（2）如果f（x）是［－a，a］上的奇函数，则

证　因为

对积分作变量代换x＝－t，则(www.chuimin.cn)

于是

（1）当f（x）为偶函数时，即f（－x）＝f（x），则f（x）＋f（－x）＝2f（x），所以

（2）当f（x）为奇函数时，即f（－x）＝－f（x），则f（x）＋f（－x）＝0，所以

利用例5的结论可简化奇、偶函数在对称区间［－a，a］上的积分计算.其几何意义如图5－8与图5－9所示.

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图5－8

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图5－9

例6　计算

解　积分区间［－2，2］关于原点对称，被积函数（4－x2）3sinx在积分区间上为奇函数，利用例5的结论即可得到

例7　设函数f（x）在［0，1］上连续，证明：

（1）

（2）

证　（1）令则dx＝－dt.当x＝0时时，t＝0.于是

特别地，

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（2）令x＝π－t，则dx＝－dt.当x＝0时，t＝π；当x＝π时，t＝0.于是

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故

例8　利用例7的结论计算：

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解　（1）　

所以有

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从而

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