性质1设函数f（x）的原函数存在，k为非零常数，则证因为，所以类似可证明不定积分有下列性质.性质2设函数f（x）与g（x）的原函数均存在，则性质2可推广到有限个函数的情形.利用不定积分的性质和基本积分公式可以求一些简单函数的不定积分.对于不定积分运算需要指出，虽然每个积分号都含有任意常数，但任意常数之和仍是任意常数，所以遇到几个任意常数时只要写一个任意常数即可.例5求解例6求解积分运......
2023-11-19
高等数学上册：定积分性质解析
【摘要】：，n）.又由于Δxi≥0（i＝1，2，…，n），因此记λ＝max｛Δx1，Δx2，…
假设定积分
都是存在的，则有以下性质.
性质1 
证 由定积分的定义可得：
性质2 
证
性质1对有限多个函数的代数和的积分也成立，类似证明即可.
性质3 
（k为常数）.
性质4（对区间的可加性） 对于任意三个数a，b，c，恒有
证 先证a＜c＜b的情形.因为函数f（x）在［a，b］上可积，所以无论对［a，b］怎样划分，和式的极限总是不变的.因此在划分区间时，可以使c是其中一个分点，那么在［a，b］上的积分和等于在［a，c］上的积分和加上在［c，b］上的积分和，即
令λ→0，对上式两端取极限得
当c＜a＜b时，由上面所证可知
所以
同理可证当a＜b＜c时，结论也成立.
综上结论成立.
性质4可以推广到一般情形.如对于任意四个数a，b，c，d，恒有
性质5 如果在区间［a，b］上f（x）≥0，则
证 因为f（x）≥0，所以f（ξi）≥0（i＝1，2，…，n）.
又由于Δxi≥0（i＝1，2，…，n），因此
记λ＝max｛Δx1，Δx2，…，Δxn｝，则
推论1 如果在区间［a，b］上f（x）≤g（x），则
推论2 
注 推论1与推论2的证明由性质5易得，请读者自行完成.
性质6（估值定理） 设M，m是函数f（x）在区间［a，b］上的最大值与最小值，则
证 因为m≤f（x）≤M，由性质5的推论1，得
所以
性质7（积分中值定理） 设函数f（x）在区间［a，b］上连续，则在［a，b］上至少存在一点ξ，使得(www.chuimin.cn)
成立.
证 因为f（x）在［a，b］上连续，所以f（x）在［a，b］上有最小值m和最大值M，由性质6得
即
是介于f（x）的最小值与最大值之间的一个数，根据闭区间上连续函数的介值定理，至少存在一点ξ∈［a，b］，使得
即
积分中值定理有以下几何解释：设f（x）为闭区间［a，b］上的连续函数，则以区间［a，b］为底边、曲线y＝f（x）为曲边的曲边梯形的面积等于相同底边、高为f（ξ）的一个矩形的面积（图5－4）.
图5－4
称
为函数f（x）在区间［a，b］上的平均值.
定积分的性质对于定积分的计算及进一步研究定积分的理论都有重要作用.
例3 比较下列各对积分值的大小：
解 （1）因为x∈［0，1］时，ex≥x2，所以由性质5的推论1得
（2）因为
时，sinx≥cosx，所以由性质5的推论1得
因此
例4 设f（x）在区间［0，1］上连续，在（0，1）内可导，且
证明：在（0，1）内有一点c使f′（c）＝0.
分析 由条件和结论容易想到应用罗尔定理，只需再找出条件f（ξ）＝f（0）即可.
证 因为f（x）在［0，1］上连续，由积分中值定理可得，至少存在一点ξ∈
使得
于是由罗尔定理可得，至少存在一点c∈（0，ξ）⊂（0，1），使f′（c）＝0.
例5 求从0到T这段时间内自由落体运动的平均速度.
解 因为自由落体运动的速度v＝gt，所以
利用定积分定义，反过来可以求某些特殊数列的极限.
例6 求
解 由于
这可理解为将区间［1，2］等分为n个子区间，其长度为
n），取ξi为子区间的右端点
故
原式
（定积分的计算下节将介绍）
上例也可化为定积分
请读者自行考虑.
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2023-11-19
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