首页理论教育高等数学上册：有理函数积分

高等数学上册：有理函数积分

2023-11-19 理论教育版权反馈

【摘要】：两个多项式的商称为有理函数，其中n和m是非负整数，且a0≠0，b0≠0.当n≥m≥1时，称式（4－5）所表示的函数为有理假分式函数；当n＜m时，称式（4－5）所表示的函数为有理真分式函数.当f是假分式时，利用多项式的除法，可将它化为一个多项式与一个真分式的和.例如，因此有理函数的积分问题可归结为求真分式的积分问题.1）有理函数的分解定理1设有真分式（4－5）式，若Qm＝b0（x－a）α…（x－b）βλ…

两个多项式的商

称为有理函数，其中n和m是非负整数，且a0≠0，b0≠0.

当n≥m≥1时，称式（4－5）所表示的函数为有理假分式函数；当n＜m时，称式（4－5）所表示的函数为有理真分式函数.当f（x）是假分式时，利用多项式的除法，可将它化为一个多项式与一个真分式的和.例如，

因此有理函数的积分问题可归结为求真分式的积分问题.

1）有理函数的分解

定理1　设有真分式（4－5）式，若

Qm（x）＝b0（x－a）α…（x－b）β（x2＋px＋q）λ…（x2＋rx＋s）μ

其中α，…，β，λ，…，μ∈N＋，p2－4q＜0，…，r2－4s＜0，则真分式可以分解成如下部分分式之和：

其中Ai，Bi，Mi，Ni，Ri，Si（i∈N＋）都是常数，并且在上述分解中，这些常数都唯一确定.

由定理1可知，在实数范围内，任何有理真分式都可以分解成下面四类简单分式之和：

其中k是正整数，k≥2，p2－4q＜0.各个简单分式的分子中的常数可用待定系数法确定.

2）四类简单分式的积分

求有理函数的不定积分可归结为求多项式与以下四类简单分式的不定积分：

（1）

（2）

（3）

（4）（k≠1，k为正整数，p2－4q＜0）.

其中（1）、（2）两类简单分式的不定积分可直接积出：

第（3）类简单分式的积分通过换元（凑微分）法就可积出：当p2－4q＜0时，有

第（4）类简单分式的积分则需要通过分部积分法得到一个关于k的递推公式，再逐次运用该递推公式就能积出来.这里不再赘述.

总之，有理函数分解为多项式及部分分式之后，各个部分都能积出，且原函数都是初等函数.因此，有理函数的积分问题最终可得到解决，故可得到结论：有理函数的原函数都是初等函数.(www.chuimin.cn)

例1　将化成部分分式之和.

解　解法1：设　其中A，B，C为待定系数.

两端去掉分母后，得

1＝A（x－1）2＋Bx＋Cx（x－1）　　（4－6）

即

1＝（A＋C）x2＋（B－2A－C）x＋A

对于式（4－6），由待定系数法得

解得A＝1，B＝1，C＝－1.

所以

解法2：在恒等式（4－6）中，代入特殊的x值，求出待定系数.

令x＝0，得A＝1；令x＝1，得B＝1；把A，B的值代入式（4－6），并令x＝2，得1＝1＋2＋2C，即C＝－1.于是有

例2　求

解　先将分式化成部分分式，设其中A，B，C为待定系数.由待定系数法可知

所以

由前面的讨论可知，有理函数总能分解为多项式与四类简单分式之和，而简单分式都可以积出.另外，我们应注意到，有时有理函数化成部分分式的和再积分这一过程的计算较繁琐，且当分母的次数比较高时，因式分解相当困难，但用其他方法可能更容易积出.因此，在解题时要灵活使用各种方法.

例3　求

解

例4　求

解