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高等数学上册：不定积分的分部积分法

2023-11-19 理论教育版权反馈

【摘要】：上节我们在复合函数求导法则的基础上，给出了转化不定积分的重要方法——换元积分法.但有很多积分如等利用换元积分仍然无法积出.本节将在函数乘积的求导公式的基础上，推导出转化不定积分的另一重要方法——分部积分法.设函数u＝u（x），v＝v（x）具有连续的导数，那么两个函数乘积的求导公式为（uv）′＝u′v＋uv′移项得uv′＝（uv）′－u′v对上式两边积分得或公式（4－2）或（4－3）称为不定积分的分

上节我们在复合函数求导法则的基础上，给出了转化不定积分的重要方法——换元积分法.但有很多积分如等利用换元积分仍然无法积出.本节将在函数乘积的求导公式的基础上，推导出转化不定积分的另一重要方法——分部积分法.

设函数u＝u（x），v＝v（x）具有连续的导数，那么两个函数乘积的求导公式为

（uv）′＝u′v＋uv′

移项得

uv′＝（uv）′－u′v

对上式两边积分得

或

公式（4－2）或（4－3）称为不定积分的分部积分公式.

∫udv难以积分，而较易积分，则利用该公式可将计算转化为计算∫vdu，起到了化难为易的作用.具体应用分部积分法时，首先应该把被积函数写成u和dv的乘积，怎样取u和dv是问题的关键.一般说来，选取u和dv时应考虑如下两点：①v易于求出；②∫vdu要比∫udv容易求出.

下面通过例题说明如何运用这个重要公式.

例1　求∫xcosxdx.

解　这个积分用换元积分法不易求得结果，现在试用分部积分法来求.但是怎样选取u和dv呢？因为x′＝1会使函数降次，而（cosx）′＝－sinx未使函数有任何简化.因此，不妨设x＝u，cosxdx＝dv，则du＝dx，v＝sinx，由分部积分公式得

在本例中，若设cosx＝u，xdx＝dv，则du＝－sinxdx，于是

而积分更不易积出，因此例1中u应取x，而不是cosx.

例2　求∫x2lnxdx.

解　因为，使超越函数变为代数函数；而（x2）′＝2x未能简化函数类型，只降了一次.因此，不妨设lnx＝u，x2dx＝dv，则，于是

注　解题熟练以后，u和v常省略不写，直接套用式（4－2）计算.

例3　求

解

例4　求

解

读者试一试计算积分(www.chuimin.cn)

通常被积函数为两种不同类型函数的乘积，特别是含指数函数、对数函数、三角函数或反三角函数与幂函数的乘积时，考虑用分部积分法.u选取的一般顺序为“反、对、幂、三、指”.特殊情况，如等，被积函数仅有一个函数式，则取dv＝dx，仍用分部积分法处理.

例5　求

解　设则

即

I＝exsinx＋excosx－I　　（4－4）

它是关于I的一个方程，由于I包含了任意常数，由式（4－4）解得I时务必加上任意常数C.即

注　（1）若被积函数是指数函数与正（余）弦函数的乘积，u，dv可随意选取，但在两次分部积分中，必须选择同类型的u.读者可试一下每次积分时都是选取ex为u.

（2）两次分部积分后，又出现原题中的不定积分，但此时积分前的系数不同，因此经过移项就不难求得结果.

例6　求

解　因为

所以

分部积分法还可以用于求某些不定积分的递推公式.

例7　设证明

证　

例8　设f（x）的一个原函数为

解　此类问题虽然可求出f′（x），但由f′（x）得到f（x）更为方便，因而首先考虑分部积分法，取u＝x，f′（x）dx＝dv，得到du＝dx，v＝f（x）.

于是

因为f（x）的一个原函数为e－x2，所以f（x）＝（e－x2）′＝－2xe－x2.故

在计算不定积分时，一定要注重对被积函数的观察和分析，在一个不定积分的计算过程中往往会用到几种方法.对被积函数进行恰当的转化是计算的关键，恒等变形、分项、换元以及分部积分等都是重要的转化手段.

例9　求

解　令则x＝t3，dx＝3t2dt，于是