表示常量，用字母x，y，z，t，…......
2023-11-19
高数上册：换元积分法
【摘要】：有些不定积分难以用凑微分的方法来积分，比如等.但此时若作适当的x＝φ（t）变 换 后会变得容易积分，这种换元积分的方法称为第二类换元积分法，具体叙述如下.定理2设x＝φ（t）有连续的导函数，且φ′（t）≠0，又设F（t）＋C，则有其中φ－1（x）是x＝φ（t）的反函数.证只需证明两个不定积分有相同的原函数即可.因为F（t）是f（φ（t））φ′（t）的原函数，记Φ（x）＝F（φ－1（x）），则即
有些不定积分
难以用凑微分的方法来积分，比如
等.但此时若作适当的x＝φ（t）变 换 后
会变得容易积分，这种换元积分的方法称为第二类换元积分法，具体叙述如下.
定理2 设x＝φ（t）有连续的导函数，且φ′（t）≠0，又设
F（t）＋C，则有
其中φ－1（x）是x＝φ（t）的反函数.
证 只需证明两个不定积分有相同的原函数即可.
因为F（t）是f（φ（t））φ′（t）的原函数，记Φ（x）＝F（φ－1（x）），则
即Φ（x）为f（x）的原函数，于是定理得证.
利用第二类换元法解题的一般步骤为：
第一类和第二类换元积分法都是依据同一个公式
它们的基本思想是一致的，都是通过变量代换把较复杂的不定积分化成容易解决的不定积分，两者仅仅是方向不同.
常用的第二类换元法有三角代换、根式代换与倒代换，下面通过例题依次介绍.
1）三角代换
例17 求
解 令
则
于是
图4－2
为了把最后一式还原为x的表达式，可以将t看成锐角，根据
作辅助直角三角形（图4－2）得到
因此
例18 求
解 令
则
于是
根据
作辅助直角三角形（图4－3），有
图4－3
因此
其中C＝C1－lna.
例19 求
(www.chuimin.cn)
解 被积函数的定义域为（－∞，－a）∪（a，＋∞）.
当x∈（a，＋∞）时，令
asecttantdt，于是
图4－4
根据
作辅助直角三角形（图4－4），有tant＝
，因此
当x∈（－∞，－a）时，令x＝－u，于是u＞a＞0，且有
故当｜x｜＞a时，总有
从以上三例可以看出，被积函数中含有
时，常常可分别令
等代换化去根式，将无理函数转化为三角函数的积分，以上所用的代换统称为三角代换.
2）根式代换
例20 求
解 令
则x＝t2，dx＝2tdt，于是
例21 求
解 令
于是
对形如
为常数）型函数的积分，可作变量代换
t，把无理函数转化为有理函数R（x，t）的积分，其中R（x，t）表示x和t两个变量的有理式.
对形如
（a，b，c，d为常数）型函数的积分，可作变量代换
，转化为函数R（x，t）的积分，其中R（x，t）仍表示x和t两个变量的有理式.
例22 求
解 令
于是
3）倒代换
例23 求
解 当被积函数中分母的次数较高时，可以作代换
（倒代换），即令x＝
则
于是
在本节的例题中，有几个积分经常用到.它们通常也被当作公式使用.因此，除了前面介绍的基本积分公式外，再补充下面几个基本积分公式（其中常数a＞0）.
例24 求
解
变量代换是数学中常用的思想和方法，换元积分法的关键也同样是作变量代换.变量代换的实质是对应，通过对应将不便计算的不定积分类型转化为便于计算的积分类型.
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2023-11-19
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2023-11-19
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