定理1设函数f（x）在［a，b］上连续，函数x＝φ（t）满足条件：（1）φ（α）＝a，φ（β）＝b，且a≤φ（t）≤b.（2）φ（t）在［α，β］（或［β，α］）上有连续导数.则有公式（5－5）称为定积分的换元公式.证由于f（x）在［a，b］上连续，则存在原函数，在［a，b］上可积.设F′（x）＝f（x），则又｛F［φ（t）］｝′＝F′［φ（t）］·φ′（t）＝f［φ（t）］·φ′（t），于是......
2023-11-19
高等数学上册-第一类换元积分方法
【摘要】：我们知道，如果f（u）具有原函数F（u），即F′（u）＝f（u），则有F（u）＋C.当u又是另一变量x的函数，即u＝φ（x），且设φ（x）可微，那么根据复合函数微分法，有｛F［φ（x）］｝′＝F′［φ（x）］φ′（x）＝f［φ（x）］φ′（x）由不定积分定义就得到另一方面，由一阶微分的形式不变性可知，不论u为自变量还是中间变量，都有dF（u）＝f（u）du两边取积分得到若此时令u＝φ（x），则上式
我们知道，如果f（u）具有原函数F（u），即F′（u）＝f（u），则有
F（u）＋C.当u又是另一变量x的函数，即u＝φ（x），且设φ（x）可微，那么根据复合函数微分法，有
｛F［φ（x）］｝′＝F′［φ（x）］φ′（x）＝f［φ（x）］φ′（x）
由不定积分定义就得到
另一方面，由一阶微分的形式不变性可知，不论u为自变量还是中间变量，都有
dF（u）＝f（u）du
两边取积分得到
若此时令u＝φ（x），则上式变为
由此得到不定积分的第一类换元积分法.
定理1 设f（u）为连续函数，u＝φ（x）具有连续的导数，且
＋C，则
证 因为
（F［φ（x）］）′＝F′［φ（x）］·φ′（x）＝f［φ（x）］·φ′（x）
故
定理1表明，若不定积分∫g（x）dx的被积函数g（x）不能直接利用基本积分公式计算，但被积表达式能整理成f［φ（x）］φ′（x）dx，且f（u）能够直接积分，此时可按下列步骤求不定积分：
这样求不定积分的方法称为第一类换元法.定理1极大地扩充了基本公式的运用范围.
例如，观察
知，该积分不能直接计算，可将被积函数变形为cos2x＝
，则
由于被积函数表达式g（x）dx一般并不是拆成式（4－1）左边的形式f（φ（x））φ′（x）dx，所以问题的关键是要“凑出”φ′（x）dx＝dφ（x）＝du，使被积表达式g（x）dx变成
）可利用基本积分公式积出，因此第一类换元积分法也称为“凑微分法”.
例1 求
解 由
则
例2 求
解 
注 在对变量代换比较熟练后，可省写中间变量u.
例3 求
解 因为
凑出
即可积分.
例4 求
解
第一类换元积分法（凑微分法）是积分计算中用得较多的方法，熟记常用的凑微分公式有助于灵活使用凑微分法.下面介绍几个常用的凑微分公式供参考.
例5 求
解 
例6 求
解(www.chuimin.cn)
例7 求
解 
例8 求
解 
同理有
例9 求
解
同理得
例10 求
解 
一般地，
例11 求
解 
例12 求
解 
例13 求
解
注 当被积函数含有sinx或cosx的奇次项时，通常拆开奇次项用来凑微分.
例14 求
解
注 当被积函数是关于sinx或cosx的偶次项时，通常使用降幂公式，然后凑微分.
例15 求
解 由积化和差公式
于是，
类似方法可用于求形如
的积分.
例16 求得：
解
应用第一类换元积分法时关键在于选取适当的变量代换u＝φ（x）以将被积函数变换成容易积分的函数，而u＝φ（x）的选取没有固定的模式，这需要读者熟记基本积分公式和凑微分形式，并通过适当的练习积累积分经验才能灵活运用.
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