首页理论教育高等数学上册-第一类换元积分方法

高等数学上册-第一类换元积分方法

2025-09-30 理论教育版权反馈

【摘要】：我们知道，如果f（u）具有原函数F（u），即F′（u）＝f（u），则有F（u）＋C.当u又是另一变量x的函数，即u＝φ（x），且设φ（x）可微，那么根据复合函数微分法，有｛F［φ（x）］｝′＝F′［φ（x）］φ′（x）＝f［φ（x）］φ′（x）由不定积分定义就得到另一方面，由一阶微分的形式不变性可知，不论u为自变量还是中间变量，都有dF（u）＝f（u）du两边取积分得到若此时令u＝φ（x），则上式

我们知道，如果f（u）具有原函数F（u），即F′（u）＝f（u），则有F（u）＋C.当u又是另一变量x的函数，即u＝φ（x），且设φ（x）可微，那么根据复合函数微分法，有

｛F［φ（x）］｝′＝F′［φ（x）］φ′（x）＝f［φ（x）］φ′（x）

由不定积分定义就得到

另一方面，由一阶微分的形式不变性可知，不论u为自变量还是中间变量，都有

dF（u）＝f（u）du

两边取积分得到

若此时令u＝φ（x），则上式变为

由此得到不定积分的第一类换元积分法.

定理1　设f（u）为连续函数，u＝φ（x）具有连续的导数，且＋C，则

证　因为

（F［φ（x）］）′＝F′［φ（x）］·φ′（x）＝f［φ（x）］·φ′（x）

故

定理1表明，若不定积分∫g（x）dx的被积函数g（x）不能直接利用基本积分公式计算，但被积表达式能整理成f［φ（x）］φ′（x）dx，且f（u）能够直接积分，此时可按下列步骤求不定积分：

这样求不定积分的方法称为第一类换元法.定理1极大地扩充了基本公式的运用范围.

例如，观察知，该积分不能直接计算，可将被积函数变形为cos2x＝，则

由于被积函数表达式g（x）dx一般并不是拆成式（4－1）左边的形式f（φ（x））φ′（x）dx，所以问题的关键是要“凑出”φ′（x）dx＝dφ（x）＝du，使被积表达式g（x）dx变成）可利用基本积分公式积出，因此第一类换元积分法也称为“凑微分法”.

例1　求

解　由则

例2　求

解　

注　在对变量代换比较熟练后，可省写中间变量u.

例3　求

解　因为凑出即可积分.

例4　求

解　　

第一类换元积分法（凑微分法）是积分计算中用得较多的方法，熟记常用的凑微分公式有助于灵活使用凑微分法.下面介绍几个常用的凑微分公式供参考.

例5　求

解　

例6　求

解(https://www.chuimin.cn)

例7　求

解　 pagenumber_ebook=172,pagenumber_book=161

例8　求

解　 pagenumber_ebook=172,pagenumber_book=161

同理有

例9　求

解

同理得

例10　求

解　

一般地，

例11　求 pagenumber_ebook=173,pagenumber_book=162

解　 pagenumber_ebook=173,pagenumber_book=162

例12　求

解　 pagenumber_ebook=173,pagenumber_book=162

例13　求

解

注　当被积函数含有sinx或cosx的奇次项时，通常拆开奇次项用来凑微分.

例14　求

解

注　当被积函数是关于sinx或cosx的偶次项时，通常使用降幂公式，然后凑微分.

例15　求

解　由积化和差公式

于是，

类似方法可用于求形如的积分.

例16　求得：

解

应用第一类换元积分法时关键在于选取适当的变量代换u＝φ（x）以将被积函数变换成容易积分的函数，而u＝φ（x）的选取没有固定的模式，这需要读者熟记基本积分公式和凑微分形式，并通过适当的练习积累积分经验才能灵活运用.