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如何求不定积分-高等数学上册

2025-09-30 理论教育版权反馈

【摘要】：定义2若F（x）是f（x）在区间I上的一个原函数，则称F（x）＋C为f（x）在区间I上的不定积分，记作即∫f（x）dx＝F（x）＋C其中C为任意常数，记号“∫”称为积分号，f（x）称为被积函数，f（x）dx称为被积表达式，x称为积分变量.由定义2可知，求的关键就是求出f（x）的一个原函数，不定积分与原函数是总体与个体的关系.由此，本节开头所举的两个例子可写作从不定积分的定义即可知下述关系：或又由

定义2　若F（x）是f（x）在区间I上的一个原函数，则称F（x）＋C为f（x）在区间I上的不定积分，记作即

∫f（x）dx＝F（x）＋C

其中C为任意常数，记号“∫”称为积分号，f（x）称为被积函数，f（x）dx称为被积表达式，x称为积分变量.

由定义2可知，求的关键就是求出f（x）的一个原函数，不定积分与原函数是总体与个体的关系.由此，本节开头所举的两个例子可写作

从不定积分的定义即可知下述关系：

或

又由于F（x）是F′（x）的一个原函数，所以

∫F′（x）dx＝F（x）＋C

或

∫d［F（x）］＝F（x）＋C

由此可见，微分运算（以记号“d”表示）与求不定积分的运算（以记号“∫”表示）是互逆的，当记号“∫”与“d”连在一起时，或者互相抵消，或者抵消后差一个常数.

不定积分的几何意义：若F（x）是f（x）的一个原函数，则称F（x）的图形为f（x）的一条积分曲线.于是，f（x）的不定积分在几何上表示f（x）的某一积分曲线沿纵轴方向任意平移所得的一切积分曲线组成的曲线族（图4－1）.

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图4－1

例1　求

解　由是x3的一个原函数，所以

例2　求

解　由导数基本公式可知所以

例3　求

解　因为所以

例4　某产品的产量变化率是时间t的函数f（t）＝t2＋1，已知当时间t＝0时，产量为0，试求该产品的产量函数.

解　设产量函数为F＝F（t），由题意知F′（t）＝f（t）＝t2＋1，由于t2＋1，则

将F（0）＝0代入上式，解得C＝0.

所以，此产品的产量函数为