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高等数学上册：原函数的存在性及唯一性问题

2025-09-30 理论教育版权反馈

【摘要】：定义1设函数f是定义在区间I上的已知函数，若存在函数F，满足对x∈I，恒有F′＝f则称函数F为f在区间I上的一个原函数.例如，因是x4在R上的一个原函数.又如，arctanx－1与arctanx＋2都是在R上的原函数，容易看出arctanx＋C都是的原函数.可见，研究原函数首先要解决下面两个主要问题.满足何种条件的函数必定存在原函数？如果已知某个函数的原函数存在，那么原函数是否唯一？如果不唯一，原函数之间有什么关系？

定义1　设函数f（x）是定义在区间I上的已知函数，若存在函数F（x），满足对∀x∈I，恒有

F′（x）＝f（x）　（或dF（x）＝f（x）dx）

则称函数F（x）为f（x）（或f（x）dx）在区间I上的一个原函数.

例如，因是x4在R上的一个原函数.又如，arctanx－1与arctanx＋2都是在R上的原函数，容易看出arctanx＋C都是的原函数.

可见，研究原函数首先要解决下面两个主要问题.

（1）满足何种条件的函数必定存在原函数？

（2）如果已知某个函数的原函数存在，那么原函数是否唯一？如果不唯一，原函数之间有什么关系？

定理1（原函数存在定理）　若函数f（x）在区间I上连续，则在区间I上存在可导函数F（x），使对∀x∈I，都有F′（x）＝f（x）.(https://www.chuimin.cn)

简单地说就是：连续函数一定有原函数.（证明见下一章）

定理2　设F（x）是f（x）在区间I上的一个原函数，则

（1）F（x）＋C也是f（x）的原函数，其中C为任意常数.

（2）若G（x）也为f（x）在区间I上的原函数，则G（x）＝F（x）＋C.

证　（1）由于F′（x）＝f（x），则（F（x）＋C）′＝F′（x）＋C′＝f（x），所以F（x）＋C也是f（x）的原函数.

（2）因为F′（x）＝f（x），G′（x）＝f（x），所以（F（x）－G（x））′＝F′（x）－G′（x）＝0，从而G（x）＝F（x）＋C.

由此，一方面如果f（x）存在一个原函数F（x），则F（x）＋C都是f（x）的原函数，另一方面f（x）的全体原函数所组成的集合是函数族｛F（x）＋C｜C为任意常数｝.当C为取定常数时，F（x）＋C表示f（x）的一个原函数.