解 设椭圆.由例2可知，椭圆在点处的曲率最大，即曲率半径最小，且为图3-22显然砂轮半径不超过时才不会产生过量磨损或有的地方磨不到的问题.对于砂轮磨削一般工件的内表面时，也有类似的结论，即选用砂轮的半径不应超过这工件内表面的截线上各点处曲率半径中的最小值.......
2023-11-22
高等数学上册：曲率与曲率半径解析
【摘要】：下面研究曲线各部分的弯曲程度.观察下面的两张图（图3－16（a）和（b））.图3－16在图3－16（a）中，曲线L与L1为平面上两条连续光滑的曲线，在L与L1上分别取长度都等于Δs的弧段在曲线L上动点沿弧从点P移动到点Q时，其切线也连续转动，设其倾斜角的改变量（即弧段两端切线的夹角）为Δα，同样设曲线L1上动点沿弧从点P移动到点Q1时，其切线的倾角的改变量（即弧段两端切线的夹角）为Δα1，从图3－
下面研究曲线各部分的弯曲程度.观察下面的两张图（图3－16（a）和（b））.
图3－16
在图3－16（a）中，曲线L与L1为平面上两条连续光滑的曲线，在L与L1上分别取长度都等于Δs的弧段
在曲线L上动点沿弧
从点P移动到点Q时，其切线也连续转动，设其倾斜角的改变量（即弧段
两端切线的夹角）为Δα，同样设曲线L1上动点沿弧
从点P移动到点Q1时，其切线的倾角的改变量（即弧段
两端切线的夹角）为Δα1，从图3－16（a）可看出，弧段
的长度
的长度，但Δα＜Δα1，而显然弧
的弯曲程度比
的弯曲程度小，这说明曲线的弯曲程度与其切线的倾角的改变量Δα成正比.
从图3－16（b）上可看出，当L与L1上的动点处的切线转过同样的角度Δα时，弧长较短的
的弯曲程度比弧长较长的
的弯曲程度大，这说明曲线的弯曲程度与弧段的长度Δs成反比.
图3－17
在光滑的曲线L上取点M与M′（图3－17），过M与M′分别作曲线的切线，设切线转过的角度为Δα，弧长
表示弧段
的平均弯曲程度，称为弧段
的平均曲率，记作
下面给出曲线L在点M处的曲率的定义.
定义1 设M，M′为光滑曲线L上的两点
，从点M沿曲线L到M′时其切线转过的角度为Δα，当Δs→0时，如果弧段
的平均曲率的极限存在，则称此极限为曲线L在点M处的曲率，记作K，即
当导数
存在时，则
对于直线来说，由于其切线与该直线本身重合，切线的倾角α不变，即Δα＝0，从而直线上任意点处的曲率都等于零，这与“直线是不弯曲的”这一事实相一致.
例3 求半径为R的圆的曲率.
解 设M为该圆周上的任意一点，M′为圆周上与M邻近的点，圆弧
对应的中心角记作Δα，则
从而
.由曲率的定义
故圆上任一点处的曲率都等于其半径的倒数.这也就是说圆上每一点的弯曲程度都一样.这与圆给我们的直观感觉相一致.
下面根据曲率的定义来推导一般曲线上点的曲率的计算公式.
设曲线的直角坐标方程是y＝f（x），函数f（x）具有二阶导数.由于曲线y＝f（x）在点M处的切线的斜率为
y′＝tanα
对上式求x的导数，得
解得
又弧微分
于是有
从而得曲率的计算公式为
如果曲线C由参数方程
给出，则可由参数式函数的求导法，求出
将它们代入式（3－27），得曲线的曲率：
例4 求双曲线xy＝4在点M（2，2）处的曲率.
解 由xy＝4，得
则
在点M（2，2）处，y′＝－1，y″＝1.
代入曲率公式（3－27），得(www.chuimin.cn)
例5 计算椭圆x＝acost，y＝bsint在
处的曲率.
解 因为
x′＝－asint，x″＝－acost，y′＝bcost，y″＝－bsint
代入曲率的计算公式（3－28），得
将
代入上式，得
当曲线上某点处的曲率为K时，常常可以借助半径为
的圆形象地表示曲线在该点的弯曲程度.
定义2 曲线上某点M处的曲率K的倒数
称为曲线在点M处的曲率半径，记作R，即
定义3 设曲线y＝f（x）在点M（x，y）处的曲率为K.在点M处的曲线的法线上，在凹的一侧取一点M0（x0，y0），使
.以R为半径，M0（x0，y0）为圆心作一个圆，则称此圆为曲线y＝f（x）在点M（x，y）处的曲率圆，M0（x0，y0）称为曲线在点M（x，y）处的曲率中心（图3－18）.
图3－18
由上述定义可知，如果设曲线y＝f（x）在M0（x0，y0）处的曲率圆方程为
（x－α）2＋（y－β）2＝R2
则可求得该曲率圆的圆心为
例6 求曲线xy＝4在点M（2，2）处的曲率圆.
解 由例4求得，在M（2，2）处
又由式（3－29）求得
故所求的曲率圆方程为
（x－4）2＋（y－4）2＝8
显然曲线与曲率圆有密切的关系：曲线与曲率圆在M0处有公共的切线、相同的曲率、相同的凹凸性.故曲率圆在切点处与曲线极为接近，所以曲率圆也叫密切圆.
在实际问题中，常用曲率圆在点M邻近的一段圆弧近似替代该点邻近的曲线弧使问题简单化.
例7 设有一金属工件的内表面截线为曲线
要将其内侧表面打磨光滑，问应该选用多大直径的砂轮效率最高？
解 在打磨时，如果砂轮直径过大，将会使加工点附近部分磨得过多，如果砂轮直径过小，则显然会增加打磨时间.故最合适的选择是：选曲率半径最小值对应的半径为砂轮的半径.
由于y′＝x，y″＝1，故曲线上任一点处的曲率为
曲率半径为
故当x＝0时，该曲线的曲率半径取最小值，Rmin＝1（长度单位）.因此选用的砂轮直径最大不能超过2Rmin＝2（长度单位），此时效率最高.
图3－19
例8 在修建铁路时，需要把铁轨由直线段转向半径为R的圆弧路段，为了避免离心率的突变，确保快速行进中的列车在转弯处平稳运行，要求轨道曲线有连续变化的曲率.因此需要在直线路段到圆弧路段之间衔接一段叫作缓和曲线的弯道
（见图3－19），以便铁轨的曲率从零连续地递增到
.讨论缓和曲线的方程.
解 在原点处的曲率为零的最简多项式为三次曲线，且其曲率从零连续地递增，因此在工程设计中通常采用三次抛物线作为铁路或公路的缓和曲线.
图3－19中
为直轨
为圆弧路轨，而
为缓和曲线，根据实际经验其方程选用
为待定系数）.
下面选定a使曲线
从原点O到点A这一段曲线弧的曲率从0增大到
记点A的横坐标为
故由曲率公式得
现实中R要比l大很多，于是
所以可取
从而所求的缓和曲线方程为
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