平面曲线的长度称为弧长.由于曲线的弧长具有可加性，下面用元素法来讨论平面曲线弧长的计算公式.设曲线弧由直角坐标方程y＝f（x）（a≤x≤b）给出，其中f（x）在［a，b］上具有一阶连续导数，求曲线L的弧长s.如右图6－20所示，取x为积分变量，则积分区间为［a，b］，任取区间［x，x＋dx］［a，b］，由弧微分公式可知弧长元素为图6－20故曲线弧长为若平面曲线L由参数方程给出，x＝φ（x），y＝ψ......
2023-11-19
高等数学上册：光滑曲线弧的长度计算
【摘要】：图3－15如果函数y＝f（x）在区间（a，b）内有连续的导数，这时切线沿曲线是连续变化的，称这种曲线y＝f（x）是（a，b）内的光滑曲线.理论上可以证明：光滑曲线弧是可以求长度的.在（a，b）内光滑曲线y＝f（x）上取定一点M0（x0，y0）作为度量曲线弧长的基点（图3－15），并规定沿x增大的方向为曲线的正方向（弧长增加的方向），对曲线上任意的点M（x，y），规定有向弧段的值s（x）（也称弧函数
图3－15
如果函数y＝f（x）在区间（a，b）内有连续的导数，这时切线沿曲线是连续变化的，称这种曲线y＝f（x）是（a，b）内的光滑曲线.理论上可以证明：光滑曲线弧是可以求长度的.
在（a，b）内光滑曲线y＝f（x）上取定一点M0（x0，y0）作为度量曲线弧长的基点（图3－15），并规定沿x增大的方向为曲线的正方向（弧长增加的方向），对曲线上任意的点M（x，y），规定有向弧段
的值s（x）（也称弧函数s（x））如下：s（x）的绝对值等于弧
的长度，当有向弧段
的方向与曲线的正向一致时s（x）＞0，相反时s（x）＜0.由此得到一个定义在区间（a，b）内的弧函数s（x），若也用
表示弧
的长度，则
显然s（x）是x的单调增加函数.下面给出弧函数s（x）的导数及微分公式.
设点x与x＋Δx在区间（a，b）内，它们对应曲线y＝f（x）上相应的两点M（x，f（x））与M′（x＋Δx，f（x＋Δx）），则函数y＝f（x）相应的增量是Δy，弧函数s（x）相应的增量
由于s（x）是x的单调增加函数，因此
令Δx→0，则M′→M.由于
因此对式（3－24）求Δx→0时的极限，可得
则
式（3－25）称为曲线y＝f（x）的弧微分公式.由式（3－25）可得
（ds）2＝（dx）2＋（dy）2 （3－26）
式（3－26）中的三个微分的绝对值构成了图3－16中的直角三角形MNT的三条边，因此称MNT为微分三角形.弧微分是微分三角形的有向斜边（在切线MT上而不是在弦MM′上）的值.若设切线MT的倾斜角为
由微分三角形MNT可得
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当α为负角时，以上两个等式也成立.
由式（3－25）可推得常用曲线方程对应的弧微分公式：
（1）若光滑曲线的方程为y＝f（x），则
.
（2）若光滑曲线的方程为x＝g（y），则
（3）若光滑曲线的参数方程为
（4）若光滑曲线的极坐标方程为ρ＝ρ（θ），则
例1 求曲线y＝x3的弧微分.
解 因为y′＝3x2，所以
例2 求旋轮线x＝a（t－sint），y＝a（1－cost）（a＞0）的弧微分.
解 因为
所以
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2023-11-19
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2023-11-19
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2023-11-19
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