表示常量，用字母x，y，z，t，…......
2023-11-19
高数上册：函数图形描绘
【摘要】：要比较准确地描绘出一般函数的图形，仅用描点作图是不够的，为了提高作图的准确性，可将前面讨论的函数性态应用到曲线的作图上，即先利用函数的一阶、二阶导数，分析函数的单调性、极值、凹凸性与拐点等整体性态，并求出曲线的渐近线，然后再描点作图，称这种作图的方法为分析作图法.其一般步骤如下：（1）确定f（x）的定义域、间断点，并讨论函数的奇偶性、周期性.（2）在定义区间内求函数f（x）的一阶、二阶导数为零或不
要比较准确地描绘出一般函数的图形，仅用描点作图是不够的，为了提高作图的准确性，可将前面讨论的函数性态应用到曲线的作图上，即先利用函数的一阶、二阶导数，分析函数的单调性、极值、凹凸性与拐点等整体性态，并求出曲线的渐近线，然后再描点作图，称这种作图的方法为分析作图法.其一般步骤如下：
（1）确定f（x）的定义域、间断点，并讨论函数的奇偶性、周期性.
（2）在定义区间内求函数f（x）的一阶、二阶导数为零或不存在的点，并用这些点将定义域划分成若干个部分小区间.
（3）在每个小区间内确定一阶、二阶导数的符号，由此确定函数在这些区间内的单调性和凹凸性并求得函数的极值点与拐点，将这些性质都利用表格的形式表示出来.
（4）求出曲线y＝f（x）的渐近线.
（5）计算若干关键点（与坐标轴交点、极值点、拐点等）的函数值.
（6）综合上面讨论的图像性质，再描点作图.
例3 描绘函数
的图形.
解 函数
的定义域为（－∞，＋∞），且处处连续，由于它是偶函数，所以只需在［0，＋∞）内讨论其性态.
由y′＝0，得x1＝0；由y″＝0，得x2＝1.将函数y的性态列于表3－5.
表3－5
由极限
可知，曲线有水平渐近线y＝0.又
(www.chuimin.cn)
图3－13
得到图上的3个点，结合渐近线和表3－5中函数的性态，在［0，1）和（1，＋∞）上描出函数的图形，最后作它的关于y轴的对称图形，从而得到函数的整个图形，如图3－13所示.
例4 讨论函数
的性态并作图.
解 此函数是
内的非奇非偶非周期的连续函数，x＝1时函数无意义.
求得：x＝0及x＝2时，y′＝0，y″无零点.
综上，函数的性态可如表3－6所示.
表3－6
由于
故曲线有铅直渐近线x＝1.又
故曲线有斜渐近线y＝x－1，又
综上函数性态并描点得函数的图形如图3－14所示.
图3－14
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