一、曲线凹凸性的定义为了较准确地描述函数的图形,仅知道函数的单调区间和极值是不行的,比如说,f(x)在[a,b]上单调,这时会出现图3.6中的几种情况,l1是一段凸弧,l2是一段凹弧,l3既有凸的部分,也有凹的部分,曲线具有这种凸和凹的性质,称为凸凹性.图3.6曲线的凸凹性从几何意义上看,凸弧具有这种特点:从中任取两点,连接此两点的弦总在曲线的下方.进而不难知道,在[a,b]中任意取两个点函数在......
2023-11-20
在讨论函数的特性或者描述函数的图形时,仅了解其单调性是不够的.例如在图3-6中有两条曲线弧它们都是单调上升的曲线,但图形却有着显著的不同是向下凹陷的是向上凸起的,它们的凹凸性不同.那么图形的凹凸性有什么本质属性,又如何来判别呢?
图3-6
1)曲线的凹凸性
从几何上看到,在凹陷的弧上(图3-7),任意两点的连线段总位于这两点间的弧段的上方,每一点处的切线总位于曲线的下方;而在向上凸起的曲线上,其情形正好相反(图3-8).对于曲线的这种凹陷、凸起的图形性质,称之为曲线的凹凸性.
图3-7
图3-8
定义1 设f(x)在区间(a,b)内连续,设x1,x2为(a,b)内的任意两点,如果
(1)恒有则称f(x)在(a,b)内的图形是(向上)凹的(或凹弧).
(2)恒有则称f(x)在(a,b)内的图形是(向上)凸的(或凸弧).
从图3-7与图3-8可看出,当曲线处处有切线时,凹(凸)弧的切线的斜率随着自变量x的逐渐增大而变大(小).如果函数y=f(x)是二阶可导的,这一特性(导数f′(x)的单调性)可由f″(x)的符号来判别,由此可得判断曲线凹凸性的一个方法.
定理2 设f(x)在[a,b]内连续,在(a,b)内具有一阶和二阶导数,那么
(1)若在(a,b)内恒有f″(x)>0,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的.
(2)若在(a,b)内恒有f″(x)<0,则f(x)在[a,b]上的图形是凸的.
证 (1)设∀x1,x2∈(a,b),且x1<x2,记则
x1=x0-h,x2=x0+h
由拉格朗日中值定理,得
f(x0)-f(x0-h)=f′(x0-θ1h)·h (0<θ1<1)
f(x0+h)-f(x0)=f′(x0+θ2h)·h (0<θ2<1)
将上面两式相减,得
f(x0+h)+f(x0-h)-2f(x0)=[f′(x0+θ2h)-f′(x0-θ1h)]·h
对f′(x)在区间[x0-θ1h,x0+θ2h]上应用拉格朗日中值定理,得
f′(x0+θ2h)-f′(x0-θ1h)=f″(ξ)(θ1+θ2)h
其中x0-θ1h<ξ<x0+θ2h.由于f″(ξ)>0,得
f(x0+h)+f(x0-h)-2f(x0)=f″(ξ)·(θ1+θ2)h2>0
即
即
从而f(x)的图形在[a,b]上是凹的.
(2)同理可证:当f″(x)<0时,f(x)的图形在[a,b]上是凸的.
此定理也适用于任意区间上的情形.由定理2可知,利用二阶导数的符号可求得函数的凹凸区间并判别其凹凸性.
例5 求曲线y=x3的凹凸区间并判别其凹凸性.(www.chuimin.cn)
解 y′=3x2,y″=6x,由y″=6x=0解得x=0.
当x>0时,y″=6x>0,故曲线在[0,+∞)上是凹的;当x<0时,y″=6x<0,曲线在(-∞,0]上是凸的.由此可知曲线y=x3的凹区间为[0,+∞),凸区间为(-∞,0].
2)拐点
从例5中可知,曲线y=x3在点x=0处,y″=0,且曲线经过点x=0的左、右两侧时,图形由凸弧变成凹弧.所以点(0,0)为曲线的一个凹凸弧形的分界点,也叫拐点.
定义2 设曲线y=f(x)在U(x0)内连续,若在点x0的左、右两侧邻近,曲线由凹弧变为凸弧或由凸弧变为凹弧,则称点(x0,f(x0))为该曲线的拐点.
如果函数内具有二阶导数,且f″(x0)=0或f″(x0)不存在,而f″(x)在x0的左右两侧邻近的符号相反,则说明函数f(x)在点(x0,f(x0))的左右两侧凹凸性不同,故点(x0,f(x0))就是曲线y=f(x)的一个拐点.
由此可得,利用函数f(x)二阶导数的符号来判别该函数的凹凸区间与拐点的具体步骤为:
(1)求函数的定义区间.
(2)求f″(x),并在该区间内求出使f″(x)=0的点与f″(x)不存在的点.
(3)用上面的点将定义区间分成若干个部分区间,考察函数在这些部分区间上f″(x)的符号.
(4)利用f″(x)的符号,再根据定理2及定义2可以求得曲线的凹凸区间及拐点.
例6 求曲线的凹凸区间和拐点.
解 函数的定义区间为[1,+∞),∀x∈(1,+∞),有
由上式可知,x1=2时,y″=0.列表表示如下:
表3-2
由表3-2可知,曲线的凸区间为[2,+∞),曲线的凹区间为[1,2].又x1=2,故点是曲线的拐点.
例7 问a,b为何值时,点(1,3)是曲线y=ax4+bx3的拐点?并求此时曲线的凹凸区间.
解 y″=12ax2+6bx
由于点(1,3)在该曲线上,将点(1,3)代入该曲线方程中得
a+b=3
又点(1,3)为曲线的拐点,故解得a=-3,b=6.此时y″=-36x2+36x=36(x-x2),由y″=36(x-x2)=0,解得x1=0,x2=1.列表表示如下.
表3-3
由表3-3可知,曲线的凸区间为(-∞,0]与[1,+∞),曲线的凹区间为[0,1].
利用凹凸性可以证明一类特殊的不等式.
例8 证明
证 取
所以在上,曲线f(t)=tant是凹的.因此当时,有
即
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