准则Ⅰ若函数f（x），g（x），h（x）在点x0的某去心邻域内满足条件：（1）g（x）≤f（x）≤h（x），（2）则存在，且等于a.证由于，因此，对ε＞0，δ1＞0，当x满足0＜｜x－x0｜＜δ1时，有｜g（x）－a｜＜ε，即又由于则对上面的ε＞0，δ2＞0，当x满足0＜｜x－x0｜＜δ2时，有｜h（x）－a｜＜ε，即取δ＝min｛δ1，δ2｝，则当x满足0＜｜x－x0｜＜δ时，（1－25）、......
2025-09-30
高等数学上册：曲线凹凸性与拐点
【摘要】：并求此时曲线的凹凸区间.解y″＝12ax2＋6bx由于点（1，3）在该曲线上，将点（1，3）代入该曲线方程中得a＋b＝3又点（1，3）为曲线的拐点，故解得a＝－3，b＝6.此时y″＝－36x2＋36x＝36，由y″＝36＝0，解得x1＝0，x2＝1.列表表示如下.表3－3由表3－3可知，曲线的凸区间为，曲线的凹区间为［0，1］.利用凹凸性可以证明一类特殊的不等式.例8证明证取所以在上，曲线f＝tant是凹的.因此当时，有即
在讨论函数的特性或者描述函数的图形时，仅了解其单调性是不够的.例如在图3－6中有两条曲线弧
它们都是单调上升的曲线，但图形却有着显著的不同
是向下凹陷的
是向上凸起的，它们的凹凸性不同.那么图形的凹凸性有什么本质属性，又如何来判别呢？
图3－6
1）曲线的凹凸性
从几何上看到，在凹陷的弧上（图3－7），任意两点的连线段总位于这两点间的弧段的上方，每一点处的切线总位于曲线的下方；而在向上凸起的曲线上，其情形正好相反（图3－8）.对于曲线的这种凹陷、凸起的图形性质，称之为曲线的凹凸性.
图3－7
图3－8
定义1 设f（x）在区间（a，b）内连续，设x1，x2为（a，b）内的任意两点，如果
（1）恒有
则称f（x）在（a，b）内的图形是（向上）凹的（或凹弧）.
（2）恒有
则称f（x）在（a，b）内的图形是（向上）凸的（或凸弧）.
从图3－7与图3－8可看出，当曲线处处有切线时，凹（凸）弧的切线的斜率随着自变量x的逐渐增大而变大（小）.如果函数y＝f（x）是二阶可导的，这一特性（导数f′（x）的单调性）可由f″（x）的符号来判别，由此可得判断曲线凹凸性的一个方法.
定理2 设f（x）在［a，b］内连续，在（a，b）内具有一阶和二阶导数，那么
（1）若在（a，b）内恒有f″（x）＞0，则f（x）在［a，b］上的图形是凹的.
（2）若在（a，b）内恒有f″（x）＜0，则f（x）在［a，b］上的图形是凸的.
证 （1）设∀x1，x2∈（a，b），且x1＜x2，记
则
x1＝x0－h，x2＝x0＋h
由拉格朗日中值定理，得
f（x0）－f（x0－h）＝f′（x0－θ1h）·h （0＜θ1＜1）
f（x0＋h）－f（x0）＝f′（x0＋θ2h）·h （0＜θ2＜1）
将上面两式相减，得
f（x0＋h）＋f（x0－h）－2f（x0）＝［f′（x0＋θ2h）－f′（x0－θ1h）］·h
对f′（x）在区间［x0－θ1h，x0＋θ2h］上应用拉格朗日中值定理，得
f′（x0＋θ2h）－f′（x0－θ1h）＝f″（ξ）（θ1＋θ2）h
其中x0－θ1h＜ξ＜x0＋θ2h.由于f″（ξ）＞0，得
f（x0＋h）＋f（x0－h）－2f（x0）＝f″（ξ）·（θ1＋θ2）h2＞0
即
即
从而f（x）的图形在［a，b］上是凹的.
（2）同理可证：当f″（x）＜0时，f（x）的图形在［a，b］上是凸的.
此定理也适用于任意区间上的情形.由定理2可知，利用二阶导数的符号可求得函数的凹凸区间并判别其凹凸性.
例5 求曲线y＝x3的凹凸区间并判别其凹凸性.(https://www.chuimin.cn)
解 y′＝3x2，y″＝6x，由y″＝6x＝0解得x＝0.
当x＞0时，y″＝6x＞0，故曲线在［0，＋∞）上是凹的；当x＜0时，y″＝6x＜0，曲线在（－∞，0］上是凸的.由此可知曲线y＝x3的凹区间为［0，＋∞），凸区间为（－∞，0］.
2）拐点
从例5中可知，曲线y＝x3在点x＝0处，y″＝0，且曲线经过点x＝0的左、右两侧时，图形由凸弧变成凹弧.所以点（0，0）为曲线的一个凹凸弧形的分界点，也叫拐点.
定义2 设曲线y＝f（x）在U（x0）内连续，若在点x0的左、右两侧邻近，曲线由凹弧变为凸弧或由凸弧变为凹弧，则称点（x0，f（x0））为该曲线的拐点.
如果函数
内具有二阶导数，且f″（x0）＝0或f″（x0）不存在，而f″（x）在x0的左右两侧邻近的符号相反，则说明函数f（x）在点（x0，f（x0））的左右两侧凹凸性不同，故点（x0，f（x0））就是曲线y＝f（x）的一个拐点.
由此可得，利用函数f（x）二阶导数的符号来判别该函数的凹凸区间与拐点的具体步骤为：
（1）求函数的定义区间.
（2）求f″（x），并在该区间内求出使f″（x）＝0的点与f″（x）不存在的点.
（3）用上面的点将定义区间分成若干个部分区间，考察函数在这些部分区间上f″（x）的符号.
（4）利用f″（x）的符号，再根据定理2及定义2可以求得曲线的凹凸区间及拐点.
例6 求曲线
的凹凸区间和拐点.
解 函数的定义区间为［1，＋∞），∀x∈（1，＋∞），有
由上式可知，x1＝2时，y″＝0.列表表示如下：
表3－2
由表3－2可知，曲线的凸区间为［2，＋∞），曲线的凹区间为［1，2］.又x1＝2，
故点
是曲线的拐点.
例7 问a，b为何值时，点（1，3）是曲线y＝ax4＋bx3的拐点？并求此时曲线的凹凸区间.
解 y″＝12ax2＋6bx
由于点（1，3）在该曲线上，将点（1，3）代入该曲线方程中得
a＋b＝3
又点（1，3）为曲线的拐点，故
解得a＝－3，b＝6.此时y″＝－36x2＋36x＝36（x－x2），由y″＝36（x－x2）＝0，解得x1＝0，x2＝1.列表表示如下.
表3－3
由表3－3可知，曲线的凸区间为（－∞，0］与［1，＋∞），曲线的凹区间为［0，1］.
利用凹凸性可以证明一类特殊的不等式.
例8 证明
证 取
所以在
上，曲线f（t）＝tant是凹的.因此当
时，有
即
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