函数单调性-高等数学上册

2025-09-30 理论教育版权反馈

【摘要】：函数的单调性是函数的主要性质之一，下面利用导数来研究函数的单调性的判别方法.从图3－4（a）中可看出，当沿着单调增加函数的曲线从左向右移动时，曲线逐渐上升，它的切线的倾斜角α总是锐角，即这时斜率f′（x）＞0；从图3－4（b）中可看出，当沿着单调减少函数的曲线从左向右移动时，曲线逐渐下降，其切线的倾斜角α总是钝角，即这时斜率f′（x）＜0.图3－4从上面的几何直观中可得出：当函数在区间内是单调增加

函数的单调性是函数的主要性质之一，下面利用导数来研究函数的单调性的判别方法.

从图3－4（a）中可看出，当沿着单调增加函数的曲线从左向右移动时，曲线逐渐上升，它的切线的倾斜角α总是锐角，即这时斜率f′（x）＞0；从图3－4（b）中可看出，当沿着单调减少函数的曲线从左向右移动时，曲线逐渐下降，其切线的倾斜角α总是钝角，即这时斜率f′（x）＜0.

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图3－4

从上面的几何直观中可得出：当函数在区间内是单调增加函数时，它在该区间内的导数恒为正；当函数在区间内是单调减少函数时，其导数在该区间内恒为负.由此我们猜想能否利用导数的符号来判别函数的单调性呢？根据微分中值定理，容易得到如下定理.

定理1　设函数f（x）在闭区间［a，b］上连续，在开区间（a，b）内可导，那么

（1）若在（a，b）内f′（x）＞0，则函数f（x）在［a，b］上严格单调增加.

（2）若在（a，b）内f′（x）＜0，则函数f（x）在［a，b］上严格单调减少.

证　（1）∀x1，x2∈（a，b），不妨设x1＜x2，由题设可知f（x）在［x1，x2］上连续、可导，即满足拉格朗日中值定理的条件，故∃ξ∈（x1，x2）⊂（a，b），使

f（x2）－f（x1）＝f′（ξ）（x2－x1）　（x1＜ξ＜x2）

由题设中条件（1）可知，f′（ξ）＞0，故

f（x2）－f（x1）＞0

所以函数f（x）在［a，b］上严格单调增加.

（2）同理可证，当f′（x）＜0时，f（x）在［a，b］上严格单调减少.

从证明过程中容易看出：如果定理1中的闭区间换成了其他各种区间（包括无穷区间），那么结论也成立.另外必须指出，如果连续函数的可导性仅在有限个点处不成立，这时定理1的结论仍成立.

利用定理1可判别函数的单调性并确定其单调区间.

例1　讨论函数的单调性.

解　f（x）在（－∞，＋∞）内连续且可导，对f（x）求导，得

f′（x）＝x2－2x＝x（x－2）

由f′（x）＝x（x－2）＝0，解得x1＝0，x2＝2，x1，x2将f（x）的定义域（－∞，＋∞）分成了三个部分区间，在每个部分区间上讨论函数的导数符号并根据导数符号判别其单调性.

当x∈（－∞，0）时，由于f′（x）＞0，故这时f（x）严格单调增加；当x∈（0，2）时，由于f′（x）＜0，故这时f（x）严格单调减少；当x∈（2，＋∞）时，由于f′（x）＞0，故这时f（x）严格单调增加.

综上所述，f（x）在区间（－∞，0］及［2，＋∞）上严格单调增加，在区间（0，2）内严格单调减少.

例2　讨论函数f（x）＝x3的单调性.

解　f（x）在（－∞，＋∞）内连续且可导，对f（x）求导，得

f′（x）＝3x2

可见，除了点x＝0使f′（x）＝0外，在其余各点处均有f′（x）＞0，因此函数f（x）在区间（－∞，＋∞）内严格单调增加（图3－5）.(https://www.chuimin.cn)

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图3－5

例3　确定函数的单调区间.

解　f（x）在（－∞，＋∞）内连续，对f（x）求导，得

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由f′（x）＝0，解得由f′（x）不存在，解得x＝0，x＝1.

因此将（－∞，＋∞）分成四个部分区间，显然f′（x）的正负性取决于因式（3x－1）与（x－1）.下面列表讨论f′（x）在各部分区间内的符号（表3－1）.

表3－1

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由表3－1可见，函数f（x）单调增加的区间为 pagenumber_ebook=139,pagenumber_book=128 与［1，＋∞），单调减少的区间为

一般地，若函数f（x）在定义区间上连续，且除去有限个导数不存在的点外，f（x）的导数均存在，这时可用导数为零的点和导数不存在的点将函数的定义区间划分成若干个部分区间，在各部分区间内f′（x）保持固定的符号，因而根据这些符号就可确定f（x）在每个部分区间上的单调性.利用函数的单调性还可证明一些不等式.

一般地，如果f（x）在（a，b）上恒有f′（x）≥0，则由定理1，可判定f（x）在［a，b］上单调增加，则当f（a）≥0时，就有f（x）＞f（a）≥0（x∈（a，b）），从而可证得不等式f（x）＞0成立.

例4　证明：当x≠0时，ex≥1＋x.

证　设f（x）＝ex－（1＋x），则函数f（x）在定义域（－∞，＋∞）上连续、可导，且f（0）＝0，因此只需证明：当x≠0时，有f（x）＞0即可.

对f（x）求导得：f′（x）＝ex－1，由f′（x）＝0，解得x＝0，故当x＜0时，f′（x）＜0，因此f（x）在（－∞，0）内严格单调递减，则当x＜0时，有

f（x）＞f（0）＝0

即

f（x）＞0

当x＞0时，f′（x）＞0，因此f（x）在（0，＋∞）内严格单调递增，则当x＞0时，有

f（x）＞f（0）＝0

即

f（x）＞0

综上可得：当x≠0时恒有f（x）＞0，即x≠0时，ex＞1＋x.