取消罗尔定理中关于“函数在两端点处的函数值必须相等”的条件，就可得到一般情形下的微分中值定理，也称为拉格朗日中值定理.定理3（拉格朗日中值定理）若y＝f（x）在［a，b］上连续，在（a，b）内可导，则ξ∈（a，b），使得证设辅助函数则定理2的结论可写成下面验证函数F（x）在［a，b］上满足罗尔定理的三个条件.由于f（x）在［a，b］上连续，在（a，b）内可导，故F（x）在［a，b］上连续，在（......
2023-11-19
高等数学上册：泰勒中值定理
【摘要】：＝1）所以例4求f＝sinx的麦克劳林展开式.解在x∈时，即所以当取k＝0时，得sinx的一次近似式为sinx≈x此时误差为当取k＝1时，得sinx的三次近似式为此时误差为当取k＝2时，得sinx的五次近似式为此时误差为图3－3是sinx及以上三个近似多项式的图形，读者可以进行比较.图3－3类似地，还可得到其中
定理（泰勒中值定理） 设函数f（x）在含有x0的某个开区间（a，b）内具有直到n＋1阶的导数，则∀x∈（a，b），有
其中
这里ξ是介于x0与x之间的某个值.
证 由题意可知
Rn（x）＝f（x）－Pn（x）
且Rn（x）在（a，b）内具有直到（n＋1）阶的导数，由于
故
只需证
下面对函数Rn（x）及（x－x0）n＋1在以x0，x为端点的区间上连续应用（n＋1）次柯西中值定理，有
其中ξ介于x0与ξn之间，因而也介于x0与x之间，所以
又
所以
定理证毕.
称式（3－16）为函数f（x）按x－x0的幂展开的n阶泰勒公式，称式（3－17）中的余项形式为拉格朗日型余项.由于ξ介于x与x0之间，所以ξ也可表示为
ξ＝x0＋θ（x－x0） （0＜θ＜1）
取x0＝0，可得f（x）按x的幂展开的n阶泰勒公式：
称式（3－18）为函数f（x）的带拉格朗日型余项的n阶麦克劳林（Maclaurin）公式.
取n＝0，泰勒公式（3－16）成为拉格朗日中值公式：
f（x）＝f（x0）＋f′（ξ）（x－x0） （ξ介于x0与x之间）
因此拉格朗日中值定理是泰勒中值定理当n＝0时的特殊形式.
易知当x→x0时，误差｜Rn（x）｜是比（x－x0）n高阶的无穷小，即
｜Rn（x）｜＝o［（x－x0）n］
称上面的余项公式为佩亚诺（Peano）型余项.
当不需要精确表达余项时，n阶泰勒公式常写成
称式（3－19）为函数f（x）在x0处的带佩亚诺（Peano）型余项的n阶泰勒公式.
在式（3－19）中，取x0＝0，得
称式（3－20）为函数f（x）的带佩亚诺型余项的n阶麦克劳林公式.
例1 将f（x）＝tanx在
处展开成三阶泰勒公式，求出余项的表达式，
并指明展开式成立的范围.
解
所以
其中余项
因为tanx在
内任意阶可导（k为整数），其中含
的区间是
故上述展开式中x的取值范围为
作为泰勒中值定理的一个直接应用，可以按照预先给定的精度计算函数f（x）在某点的函数值的近似值.
例2 写出函数f（x）＝ex的带拉格朗日型余项的n阶麦克劳林公式，并计算e的近似值，使误差小于10－7.
解 因为(www.chuimin.cn)
f（x）＝f（k）（x）＝ex （k＝0，1，2，…，n＋1）
所以
f（0）＝f′（0）＝…＝f（n）（0）＝1
代入式（3－18），得ex的带拉格朗日型余项的n阶麦克劳林公式
令x＝1，得
误差
取n＝10，得
误差
例3 求f（x）＝ln（1＋x）的麦克劳林展开式.
解 在x＞－1时，
f′（x）＝（1＋x）－1
f″（x）＝（－1）（1＋x）－2
…
f（n）（x）＝（－1）n－1（n－1）！（1＋x）－n
故
f（0）＝0
f（n）（0）＝（－1）n－1（n－1）！ （n＝1，2，…） （规定0！＝1）
所以
例4 求f（x）＝sinx的麦克劳林展开式.
解 在x∈（－∞，＋∞）时，
即
所以
当取k＝0时，得sinx的一次近似式为
sinx≈x
此时误差为
当取k＝1时，得sinx的三次近似式为
此时误差为
当取k＝2时，得sinx的五次近似式为
此时误差为
图3－3是sinx及以上三个近似多项式的图形，读者可以进行比较.
图3－3
类似地，还可得到
其中
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