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拉格朗日中值定理-高等数学上册

2023-11-19 理论教育版权反馈

【摘要】：取消罗尔定理中关于“函数在两端点处的函数值必须相等”的条件，就可得到一般情形下的微分中值定理，也称为拉格朗日中值定理.定理3（拉格朗日中值定理）若y＝f（x）在［a，b］上连续，在（a，b）内可导，则ξ∈（a，b），使得证设辅助函数则定理2的结论可写成下面验证函数F（x）在［a，b］上满足罗尔定理的三个条件.由于f（x）在［a，b］上连续，在（a，b）内可导，故F（x）在［a，b］上连续，在（

取消罗尔定理中关于“函数在两端点处的函数值必须相等”的条件，就可得到一般情形下的微分中值定理，也称为拉格朗日中值定理.

定理3（拉格朗日中值定理）　若y＝f（x）在［a，b］上连续，在（a，b）内可导，则∃ξ∈（a，b），使得

证　设辅助函数

则定理2的结论可写成

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下面验证函数F（x）在［a，b］上满足罗尔定理的三个条件.

由于f（x）在［a，b］上连续，在（a，b）内可导，故F（x）在［a，b］上连续，在（a，b）内可导.又

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即

F（a）＝F（b）

所以F（x）在［a，b］上满足罗尔定理的三个条件.因此，由罗尔定理可知，∃ξ∈（a，b），使得F′（ξ）＝0，即

证毕.

上面的式（3－3）也常常写成

f（b）－f（a）＝f′（ξ）（b－a）　　（3－4）

若设a＝x0，b＝x0＋Δx，则式（3－3）可以表达为

f（x0＋Δx）－f（x0）＝f′（x0＋θΔx）·Δx　（0＜θ＜1）　　（3－5）

或

Δy＝f′（x0＋θΔx）·Δx　（0＜θ＜1）　　（3－6）

拉格朗日中值定理实际上是罗尔定理的推广形式，也是微分学中十分重要的定理，因此又称为微分中值定理.由于式（3－6）的表达形式为增量形式，拉格朗日中值定理也称为有限增量公式.

由于表示曲线两端连线的斜率，故拉格朗日中值定理的几何意义是：若连续曲线段上各点都有不垂直于x轴的切线，则在曲线上必存在一点C，该点处的切线平行于曲线两端的连线段（图3－2）.

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图3－2(www.chuimin.cn)

与罗尔定理一样，拉格朗日中值定理只确定了中值ξ的存在性，对于不同的函数，ξ的具体位置一般是不同的.当定理中的条件不成立时，结论就不一定成立.

推论　若函数f（x）在区间I上的导数恒为0，则f（x）在I上是一个常数函数.

证　设∀x1，x2∈I，且x1＜x2，由题设可知，f（x）在［x1，x2］上连续，在（x1，x2）内可导，则f（x）在［x1，x2］上可应用拉格朗日中值定理，即∃ξ∈（x1，x2），使得

f（x2）－f（x1）＝f′（ξ）（x2－x1）

由题设可知f′（ξ）＝0，故

f（x2）－f（x1）＝0

再由x1，x2的任意性可知，f（x）在I上的函数值总是相等的，即为常数.

例4　证明：x∈［0，1］时，恒有

证　令则f（x）在［0，1］上连续，在（0，1）内可导，又

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由推论可知：当又

故

例5　证明：当x＞0时，不等式成立.

证　令f（x）＝ln（1＋x），则f（x）在［0，x］（x＞0）上连续、可导，且

由拉格朗日中值定理可知，存在一个ξ∈（0，x），使得

由于

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所以