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2025-09-30
拉格朗日中值定理-高等数学 上册
【摘要】：取消罗尔定理中关于“函数在两端点处的函数值必须相等”的条件，就可得到一般情形下的微分中值定理，也称为拉格朗日中值定理.定理3（拉格朗日中值定理）若y＝f（x）在［a，b］上连续，在（a，b）内可导，则ξ∈（a，b），使得证设辅助函数则定理2的结论可写成下面验证函数F（x）在［a，b］上满足罗尔定理的三个条件.由于f（x）在［a，b］上连续，在（a，b）内可导，故F（x）在［a，b］上连续，在（
取消罗尔定理中关于“函数在两端点处的函数值必须相等”的条件，就可得到一般情形下的微分中值定理，也称为拉格朗日中值定理.
定理3（拉格朗日中值定理） 若y＝f（x）在［a，b］上连续，在（a，b）内可导，则∃ξ∈（a，b），使得
证 设辅助函数
则定理2的结论可写成
下面验证函数F（x）在［a，b］上满足罗尔定理的三个条件.
由于f（x）在［a，b］上连续，在（a，b）内可导，故F（x）在［a，b］上连续，在（a，b）内可导.又
即
F（a）＝F（b）
所以F（x）在［a，b］上满足罗尔定理的三个条件.因此，由罗尔定理可知，∃ξ∈（a，b），使得F′（ξ）＝0，即
证毕.
上面的式（3－3）也常常写成
f（b）－f（a）＝f′（ξ）（b－a） （3－4）
若设a＝x0，b＝x0＋Δx，则式（3－3）可以表达为
f（x0＋Δx）－f（x0）＝f′（x0＋θΔx）·Δx （0＜θ＜1） （3－5）
或
Δy＝f′（x0＋θΔx）·Δx （0＜θ＜1） （3－6）
拉格朗日中值定理实际上是罗尔定理的推广形式，也是微分学中十分重要的定理，因此又称为微分中值定理.由于式（3－6）的表达形式为增量形式，拉格朗日中值定理也称为有限增量公式.
由于
表示曲线两端连线的斜率，故拉格朗日中值定理的几何意义是：若连续曲线段
上各点都有不垂直于x轴的切线，则在曲线上必存在一点C，该点处的切线平行于曲线两端的连线段
（图3－2）.
图3－2(https://www.chuimin.cn)
与罗尔定理一样，拉格朗日中值定理只确定了中值ξ的存在性，对于不同的函数，ξ的具体位置一般是不同的.当定理中的条件不成立时，结论就不一定成立.
推论 若函数f（x）在区间I上的导数恒为0，则f（x）在I上是一个常数函数.
证 设∀x1，x2∈I，且x1＜x2，由题设可知，f（x）在［x1，x2］上连续，在（x1，x2）内可导，则f（x）在［x1，x2］上可应用拉格朗日中值定理，即∃ξ∈（x1，x2），使得
f（x2）－f（x1）＝f′（ξ）（x2－x1）
由题设可知f′（ξ）＝0，故
f（x2）－f（x1）＝0
再由x1，x2的任意性可知，f（x）在I上的函数值总是相等的，即为常数.
例4 证明：x∈［0，1］时，恒有
证 令
则f（x）在［0，1］上连续，在（0，1）内可导，又
由推论可知：当
又
故
例5 证明：当x＞0时，不等式
成立.
证 令f（x）＝ln（1＋x），则f（x）在［0，x］（x＞0）上连续、可导，且
由拉格朗日中值定理可知，存在一个ξ∈（0，x），使得
由于
所以
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