在恩斯特·库默尔的工作之后，发现费马大定理证明的希望比以前更渺茫了，人们开始怀疑这个问题是不可能解决的，或许费马本来就是自己骗自己，没有人重新发现费马的证明就是因为根本不存在这样的证明，数学家纷纷转向其他不同的研究领域，新一代的数学家也极力避免那些似乎不可能解决、进入死胡同的危险，到20世纪初，这个问题虽然依然在数论家的心目中占有特殊的地位，但是他们对待费马大定理就像化学家对待炼金术一样，他们仿佛......
2023-11-19
罗尔定理的证明和费马定理的基本性质
【摘要】：从几何上可以看到：在对于两端高度相等的连续光滑曲线上，必存在一条水平的切线（如图3－1所示），这便是罗尔定理.为了罗尔定理证明的需要，下面先给出极值的定义和极值点的一条基本性质——费马定理.图3－1定义1设f（x）在点x0的某邻域内有定义，若x∈（x0，δ），恒有f（x）＜f（x0）（或f（x）＞f（x0）），则称f（x0）为f（x）的一个极大值（或极小值），函数的极大值与极小值统称为函数的极值
从几何上可以看到：在对于两端高度相等的连续光滑曲线上，必存在一条水平的切线（如图3－1所示），这便是罗尔定理.为了罗尔定理证明的需要，下面先给出极值的定义和极值点的一条基本性质——费马定理.
图3－1
定义1 设f（x）在点x0的某邻域内有定义，若∀x∈
（x0，δ），恒有f（x）＜f（x0）（或f（x）＞f（x0）），则称f（x0）为f（x）的一个极大值（或极小值），函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点x0称为函数的极值点.
下面给出极值点的一个必要条件.
定理1（费马定理） 设函数f（x）在（a，b）内可导，x0为f（x）在（a，b）内的一个极大（极小）值点，则f′（x0）＝0.
证 设x0为f（x）在（a，b）内的一个极大值点，取x0＋Δx∈（a，b），则
f（x0＋Δx）－f（x0）≤0
因此
由题设，f（x）在x0点处可导，则
再根据（3－1）、（3－2）两式，得
f′（x0）＝0
同理可证，当f（x）在x0点处取得极小值时，也有f′（x0）＝0.
综上结论成立.
该定理表明：可导函数f（x）在点x0处取得极值的必要条件是f′（x0）＝0.
定理2（罗尔定理） 设函数y＝f（x）满足：
①在闭区间［a，b］上连续；
②在开区间（a，b）内可导；
③且f（a）＝f（b），
则至少在（a，b）内存在一点ξ，使得
f′（ξ）＝0
证 因为y＝f（x）在［a，b］上连续，所以由闭区间上连续函数的性质可知，函数y＝f（x）在［a，b］上必存在最大值M与最小值m.
（1）若M＝m，则在闭区间［a，b］上，有
M＝m＝f（a）＝f（b）＝f（x）
因此∀x∈（a，b），恒有f（x）≡M，故
f′（x）＝0
结论成立.
（2）若M≠m，由于f（a）＝f（b），因此M与m中至少有一个在区间（a，b）内取得.不妨设最大值M在区间（a，b）内的ξ点处取得，即f（ξ）＝M，则f（ξ）为f（x）在（a，b）内的一个极值点，又f（x）在（a，b）内可导，由费马定理可知：
f′（ξ）＝0(www.chuimin.cn)
故结论成立.
证毕.
必须指出：罗尔定理仅给出了ξ的存在性，指出了ξ的一个大概范围为ξ∈（a，b），并没有给出ξ的准确位置.
罗尔定理的几何意义（图3－1）为：两端点值相等的连续光滑曲线弧段上，至少有一点的切线平行于x轴（或弧上至少有一条水平切线）.
例1 对函数y＝x2－2x＋1在闭区间［0，2］上验证罗尔定理.
解 由于函数y＝x2－2x＋1在闭区间［0，2］上连续、可导，又
y（0）＝y（2）＝1
因此函数y在闭区间［0，2］上满足罗尔定理的三个条件.
事实上，y′＝2x－2，当ξ＝1时，有
f′（ξ）＝0
显然ξ∈（0，2），因此，罗尔定理对函数y＝x2－2x＋1在闭区间［0，2］上成立.
利用罗尔定理可以讨论方程f′（x）＝0的根的存在性以及证明一类形如“f′（ξ）＝0”的存在性命题，下面举例说明.
例2 证明方程4ax3＋3bx2＋2cx－a－b－c＝0至少有一个正根，其中a，b，c是任意常数.
证 构造函数
f（x）＝ax4＋bx3＋cx2－（a＋b＋c）x
显然f（x）在闭区间［0，1］上连续，又在（0，1）内可导，且f（0）＝0＝f（1），根据罗尔定理可知，存在ξ∈（0，1），使得f′（ξ）＝0，即
4aξ3＋3bξ2＋2cξ－a－b－c＝0
结论得证.
例3 设函数f（x）与g（x）均在［a，b］上连续，在（a，b）内可导，且
f（b）－f（a）＝g（b）－g（a）
试证：在（a，b）内至少存在一点c，使得f′（c）＝g′（c）.
证 令F（x）＝f（x）－g（x），由题意可知，F（x）在［a，b］上连续，在（a，b）内可导，又由
f（b）－f（a）＝g（b）－g（a）
得
f（b）－g（b）＝f（a）－g（a）
即
F（b）＝F（a）
由罗尔定理可知，∃c∈（a，b），使得F′（c）＝0成立，即
f′（c）＝g′（c）
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2023-11-22
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