【主要内容】计算函数的导数的基础是求导基本公式和四则运算法则.求导基本公式：（1）C′=0（C是常数），（2）（xμ）′=μxμ-1，（3）（ax）′=axlna（常数a>0但a≠1），特别地，（ex）′=ex，（4），特别地，，（5）（sinx）′=cosx， （6）（cosx）′=-sinx，（7）（tanx）′=sec2x， （8）（cotx）′=-csc2x，（9）（secx）′=secx......
2023-10-27
高等数学上册：隐函数导数
【摘要】：1）隐函数求导法（1）隐函数的导数一般地，如果方程F（x，y）＝0在一定条件下，当x在某区间内任取一值时，相应地总有满足这个方程的唯一的y值存在，那么，就称方程F（x，y）＝0在该区间上确定了一个隐函数y＝y（x）.把一个隐函数化为显函数，称为隐函数的显化.例如方程x2＋2y＝1确定的函数可显化为但有些隐函数的显化是困难的，甚至是不可能的.而在实际问题中，往往需要计算隐函数的导数，那么能否对隐函数
1）隐函数求导法
（1）隐函数的导数
一般地，如果方程F（x，y）＝0在一定条件下，当x在某区间内任取一值时，相应地总有满足这个方程的唯一的y值存在，那么，就称方程F（x，y）＝0在该区间上确定了一个隐函数y＝y（x）.
把一个隐函数化为显函数，称为隐函数的显化.例如方程x2＋2y＝1确定的函数可显化为
但有些隐函数的显化是困难的，甚至是不可能的.而在实际问题中，往往需要计算隐函数的导数，那么能否对隐函数不显化，而直接从方程F（x，y）＝0计算该隐函数的导数
呢？下面给出解决这个问题的方法.
设方程F（x，y）＝0确定了可导函数y＝y（x），因此把它代回原方程中就得到恒等式：
F［x，y（x）］＝0
对上述恒等式的两端求x的导数，所得的结果也必然相等，但应注意，方程的左端F［x，y（x）］是将y＝y（x）代入方程F（x，y）中的结果，所以求导时其中的y要看作x的函数，然后用复合函数的求导法去求导，这样就可得到一个含有欲求的导数
的等式，从中可解出
这就是所谓的隐函数求导法.
例1 设方程exy＋y2＝cosx确定y为x的函数，求
解 对方程两边求x的导数，得
解得
例2 求曲线xy＋ey＝1在点（0，0）处的切线方程.
解 方程两边分别对x求导，得
y＋xy′＋ey·y′＝0
将x＝0，y＝0代入上式，得
则曲线在（0，0）点处的切线方程是
y＝0
（2）隐函数的二阶导数
如果需要求隐函数的二阶导数，只要对含有隐函数的一阶导数
的方程两边再求自变量的导数，便可得到一个含有隐函数的二阶导数
的等式，再将一阶导数
的表达式代入该方程，就可从中解出
这就是隐函数的二阶导数的求法.(www.chuimin.cn)
例3 设函数y＝y（x）是由方程ex－ey－xy＝0确定的隐函数，求
解 当x＝0时，代入原方程即可求得y＝0，在方程两边对x求导，得
再对上式求x的导数，得
将x＝0，y＝0代入式（2－41），解得
再将
1代入式（2－42），解得
2）对数求导法
利用隐函数求导法还可以方便地求出由几个因子通过乘、除、乘方、开方所构成的比较复杂的函数（包括幂指函数y＝［f（x）］g（x））的导数，具体做法如下：对函数两边先取对数，化乘除为加减，化乘方、开方为乘积，得到包含原来函数的方程，再按隐函数的求导方法求导即可，称这种求导法为对数求导法.
例4 设y＝xx（x＞0），求
解 在等式两边取对数，得
lny＝xlnx
对上式两边对x求导，得
解得
对数求导法不仅可以用来求幂指函数的导数，从下面的例子可以看到，此方法对求某些仅含有乘、除、乘方、开方运算的函数导数也同样适用.
例5 求
的导数.
解 在已知函数两边取对数，得
上式两边对x求导，得
解得
有关高等数学 上册的文章
- 详细阅读
-
高等数学上册：变上限积分函数及导数探究详细阅读
设y＝f（x）在［a，b］上连续，且x0∈［a，b］.设Φ（x0）表示由曲线y＝f（x）、x轴、直线x＝a和x＝x0所围平面图形面积的代数和.显然，由定积分的概念可知Φ（x0）一定存在，且其大小只与x0有关，与积分变量x无关.为明确起见，用t做积分变量，将x0换成x，从而给出积分函数的定义.定义1设函数f（x）在［a，b］上可积，x∈［a，b］，则函数是上限变量x的函数，称为变上限积分函数，记作......
2023-11-19
-
高等数学上册：导数概念详细阅读
1）几个实际问题（1）平面曲线的切线问题设点M0（x0，y0）与M（x，y）分别是平面曲线y＝f（x）上的一个定点与动点，则割线MM0的斜率为根据切线的定义可知，当M→M0，即Δx→0时，若存在，则该极限就等于切线的斜率，即因此曲线y＝f（x）在点M0（x0，y0）处的切线方程为y－y0＝k（x－x0）（2）变速直线运动的瞬时速度问题设质点M沿某直线作s＝s（t）的变速直线运动，s（t）为t时刻质......
2023-11-19
-
高等数学上册：函数极值详细阅读
定义1凡是满足方程f′（x）＝0的点x称为函数f（x）的驻点.根据导数的几何意义，在曲线y＝f（x）上驻点处的切线是水平的.图3－9在图3－9中，考察函数f（x）在［a，b］上的极值与最值，发现：函数f（x）在点x1，x2，x3处取得极大值，函数f（x）在x′1，x′2，x′3处取得极小值；其最大值为f（b），最小值为f（x′2）.观察该图还发现：函数在一个区间内可以有若干个极大值与极小值，函数......
2023-11-19
-
函数单调性-高等数学 上册详细阅读
函数的单调性是函数的主要性质之一，下面利用导数来研究函数的单调性的判别方法.从图3－4（a）中可看出，当沿着单调增加函数的曲线从左向右移动时，曲线逐渐上升，它的切线的倾斜角α总是锐角，即这时斜率f′（x）＞0；从图3－4（b）中可看出，当沿着单调减少函数的曲线从左向右移动时，曲线逐渐下降，其切线的倾斜角α总是钝角，即这时斜率f′（x）＜0.图3－4从上面的几何直观中可得出：当函数在区间内是单调增加......
2023-11-19
-
高等数学上册：有理函数积分详细阅读
两个多项式的商称为有理函数，其中n和m是非负整数，且a0≠0，b0≠0.当n≥m≥1时，称式（4－5）所表示的函数为有理假分式函数；当n＜m时，称式（4－5）所表示的函数为有理真分式函数.当f是假分式时，利用多项式的除法，可将它化为一个多项式与一个真分式的和.例如，因此有理函数的积分问题可归结为求真分式的积分问题.1）有理函数的分解定理1设有真分式（4－5）式，若Qm＝b0（x－a）α…（x－b）βλ…......
2023-11-19
-
初等函数及其反函数-高等数学 上册详细阅读
1）反函数设函数y＝f（x）的定义域为D，值域为f（D），在函数y＝f（x）中，x为自变量，y为因变量，x可以独立取值，而y却按确定的法则随x而定，即函数y＝f（x）反映的是y怎样随x而定的法则；反过来，对于y∈f（D），若D内总有确定的x与之对应，使得f（x）＝y成立，这样得到一个以y为自变量，x为因变量的函数，称该函数为y＝f（x）的反函数，记作x＝f－1（y），其定义域为f（D），值域为D.......
2023-11-19
-
高等数学上册：函数间断点详细阅读
有的曲线在定义域上不是处处连续的，而会在某些点处断开，例如函数y＝它在x＝0时无定义，其图形在该点处断开；又如函数y＝tanx，它在x＝kπ＋时无定义，其图形在这些点处断开；又如取整函数y＝［x］，它在整数点处都有定义，但其图形在这些点处都是断开的.观察发现曲线上断开的这些点处都具有如下特征：函数在该点的邻近有定义，但在该点处不连续.将这类点称为函数的间断点.定义4设函数f（x）在点x0的某去心......
2023-11-19
相关推荐