【主要内容】计算函数的导数的基础是求导基本公式和四则运算法则.求导基本公式：（1）C′=0（C是常数），（2）（xμ）′=μxμ-1，（3）（ax）′=axlna（常数a>0但a≠1），特别地，（ex）′=ex，（4），特别地，，（5）（sinx）′=cosx， （6）（cosx）′=-sinx，（7）（tanx）′=sec2x， （8）（cotx）′=-csc2x，（9）（secx）′=secx......
2025-09-30
高等数学上册：隐函数导数
【摘要】：1）隐函数求导法（1）隐函数的导数一般地，如果方程F（x，y）＝0在一定条件下，当x在某区间内任取一值时，相应地总有满足这个方程的唯一的y值存在，那么，就称方程F（x，y）＝0在该区间上确定了一个隐函数y＝y（x）.把一个隐函数化为显函数，称为隐函数的显化.例如方程x2＋2y＝1确定的函数可显化为但有些隐函数的显化是困难的，甚至是不可能的.而在实际问题中，往往需要计算隐函数的导数，那么能否对隐函数
1）隐函数求导法
（1）隐函数的导数
一般地，如果方程F（x，y）＝0在一定条件下，当x在某区间内任取一值时，相应地总有满足这个方程的唯一的y值存在，那么，就称方程F（x，y）＝0在该区间上确定了一个隐函数y＝y（x）.
把一个隐函数化为显函数，称为隐函数的显化.例如方程x2＋2y＝1确定的函数可显化为
但有些隐函数的显化是困难的，甚至是不可能的.而在实际问题中，往往需要计算隐函数的导数，那么能否对隐函数不显化，而直接从方程F（x，y）＝0计算该隐函数的导数
呢？下面给出解决这个问题的方法.
设方程F（x，y）＝0确定了可导函数y＝y（x），因此把它代回原方程中就得到恒等式：
F［x，y（x）］＝0
对上述恒等式的两端求x的导数，所得的结果也必然相等，但应注意，方程的左端F［x，y（x）］是将y＝y（x）代入方程F（x，y）中的结果，所以求导时其中的y要看作x的函数，然后用复合函数的求导法去求导，这样就可得到一个含有欲求的导数
的等式，从中可解出
这就是所谓的隐函数求导法.
例1 设方程exy＋y2＝cosx确定y为x的函数，求
解 对方程两边求x的导数，得
解得
例2 求曲线xy＋ey＝1在点（0，0）处的切线方程.
解 方程两边分别对x求导，得
y＋xy′＋ey·y′＝0
将x＝0，y＝0代入上式，得
则曲线在（0，0）点处的切线方程是
y＝0
（2）隐函数的二阶导数
如果需要求隐函数的二阶导数，只要对含有隐函数的一阶导数
的方程两边再求自变量的导数，便可得到一个含有隐函数的二阶导数
的等式，再将一阶导数
的表达式代入该方程，就可从中解出
这就是隐函数的二阶导数的求法.(https://www.chuimin.cn)
例3 设函数y＝y（x）是由方程ex－ey－xy＝0确定的隐函数，求
解 当x＝0时，代入原方程即可求得y＝0，在方程两边对x求导，得
再对上式求x的导数，得
将x＝0，y＝0代入式（2－41），解得
再将
1代入式（2－42），解得
2）对数求导法
利用隐函数求导法还可以方便地求出由几个因子通过乘、除、乘方、开方所构成的比较复杂的函数（包括幂指函数y＝［f（x）］g（x））的导数，具体做法如下：对函数两边先取对数，化乘除为加减，化乘方、开方为乘积，得到包含原来函数的方程，再按隐函数的求导方法求导即可，称这种求导法为对数求导法.
例4 设y＝xx（x＞0），求
解 在等式两边取对数，得
lny＝xlnx
对上式两边对x求导，得
解得
对数求导法不仅可以用来求幂指函数的导数，从下面的例子可以看到，此方法对求某些仅含有乘、除、乘方、开方运算的函数导数也同样适用.
例5 求
的导数.
解 在已知函数两边取对数，得
上式两边对x求导，得
解得
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