高阶导数计算方法及例题

2023-11-19 理论教育版权反馈

【摘要】：y＝abxn即特别地，在式中取b＝1，有在式中取a＝e，有再在上式中取b＝1，有例3求y＝（1＋x）μ（μ∈R）的n阶导数.解当μN＋，则y′＝μ（1＋x）μ－1y″＝μ（μ－1）（1＋x）μ－2…

1）高阶导数的定义

我们知道运动学中变速直线运动中的速度函数v（t）是路程函数s（t）对时间t的导数s′（t），而加速度a（t）是速度函数v（t）对时间t的导数，即

a（t）＝v′（t）＝［s′（t）］′

因此加速度a（t）是路程函数s（t）对t的导数的导数，称为函数s（t）对t的二阶导数.

一般地，函数y＝f（x）的导数仍是x的函数，如果导函数y′＝f′（x）的导数存在，则称此导函数f′（x）的导数为函数y＝f（x）的二阶导数，记作y″，f″（x），

由导数定义可知

依次类推，如果f″（x）的导数存在，就称这个二阶导数的导数为函数y＝f（x）的三阶导数，记作y‴，f‴（x）或

一般地，如果函数y＝f（x）的（n－1）阶导数的导数存在，就称这个导数为函数y＝f（x）的n阶导数，记作y（n），f（n）（x）或

由导数定义可知

二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数.

当x＝x0时，对应的n阶导函数的值记作

显然，求高阶导数就是对一个函数进行连续多次的求导运算，再运用归纳法就可得出一些常见函数的高阶导数.

例1　求n次多项式函数y＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn的各阶导数.

解　　

y′＝a1＋2a2x＋…＋nanxn－1

y″＝2a2＋6a3x＋…＋n（n－1）anxn－2

…

每求导一次，多项式的次数就降一次，对原来的多项式进行连续n次求导运算后，可得

y（n）＝n！an

显然y（n）是一个常数，因此

y（n＋1）＝y（n＋2）＝…＝0

即n次多项式的一切高过n阶的导数都等于零.

例2　求y＝abx的n阶导数.

解　　

y′＝abxblna

y″＝abxblna·blna＝abx（blna）2

…

y（n）＝abx（blna）n

即

特别地，在式（2－31）中取b＝1，有

在式（2－31）中取a＝e，有

再在上式中取b＝1，有

例3　求y＝（1＋x）μ（μ∈R）的n阶导数.

解　（1）当μ pagenumber_ebook=100,pagenumber_book=89 N＋，则

y′＝μ（1＋x）μ－1

y″＝μ（μ－1）（1＋x）μ－2

…

y（n）＝μ（μ－1）…（μ－n＋1）（1＋x）μ－n

（2）当μ∈N＋，则

当n＜μ时，

y（n）＝μ（μ－1）…（μ－n＋1）（1＋x）μ－n

当n＝μ时，

y（n）＝n！

当n＞μ时，

y（n）＝0(www.chuimin.cn)

特别地，当μ＝－1时，有

例4　求y＝ln（1＋x）的n阶导数.

解　再由例3中的式（2－35），可得

例5　求y＝sinax的n阶导数.

解　　

一般地

类似可得

利用上述例题中的结论及求高阶导数的方法可求一些简单函数的高阶导数.

例6　设y＝e2x，求y（n）.

解　利用上面式（2－33）的结果可得：

y（n）＝（e2x）（n）＝2ne2x

例7　设f（x）＝cos2x，求f（n）（0）.

解　由f′（x）＝－2sinxcosx＝－sin2x，则再对f′（x）求n－1阶导数，得

将x＝0代入上式，得

一般函数的高阶导数的表达式是相当繁琐的，为了便于计算高阶导数，下面介绍两个常用的高阶导数的运算法则.

2）高阶导数的运算法则

（1）高阶导数的加、减运算法则

设u（x）与v（x）都在x处具有n阶导数，则

［u（x）±v（x）］′＝u′（x）±v′（x）

［u（x）±v（x）］″＝［u′（x）±v′（x）］′＝u″（x）±v″（x）

…

利用数学归纳法，可得

此结论可推广到有限个函数的代数和的情形.

例8　设求y（n）.

解　　

利用式（2－35）的结论以及高阶导数的加法与减法运算法则，得

（2）高阶导数的乘法运算法则

设u（x）与v（x）都在x处具有n阶导数，则

［u（x）v（x）］′＝u′（x）v（x）＋u（x）v′（x）

［u（x）v（x）］″＝［u′（x）v（x）］′＋［u（x）v′（x）］′

＝u″（x）v（x）＋u′（x）v′（x）＋u′（x）v′（x）＋u（x）v″（x）

＝u″（x）v（x）＋2u′（x）v′（x）＋u（x）v″（x），

［u（x）·v（x）］‴＝［u″（x）v（x）］′＋2［u′（x）v′（x）］′＋［u（x）v″（x）］′

＝u‴（x）v（x）＋u″（x）v′（x）＋2u″（x）v′（x）＋2u′（x）v″（x）＋u′（x）v″（x）＋u（x）v‴（x）

＝u‴（x）v（x）＋3u″（x）v′（x）＋3u′（x）v″（x）＋u（x）v‴（x）

…

用数学归纳法可以证明

上式是两个函数乘积的n阶导数公式，也称为莱布尼兹（Leibniz）公式.由于其结果中的系数与代数中二项式定理中相应的系数一致，因此常借助二项式定理的系数与项的规律来帮助记忆莱布尼兹公式.

例9　设f（x）＝（x3＋2）ex，求f（20）（x）及f（20）（0）.

解　令u＝ex，v＝x3＋2，则

u（k）＝ex　（k＝1，2，…，20）

v′＝3x2，v″＝6x，v‴＝6，v（k）＝0　（k＝4，5，…，20）

代入莱布尼兹公式即式（2－40），得

故

高阶导数计算方法及例题

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