定理1（1）（2）（3）如果B≠0，则证（1）因为所以当x→□时，f（x）－A与g（x）－B均为无穷小，因而这两个无穷小的代数和［f（x）－A］±［g（x）－B］＝［f（x）±g（x）］－［A±B］仍是当x→□时的无穷小，因此（2）由题设，可令则f（x）·g（x）＝［A＋α（x）］·［B＋β（x）］＝AB＋［A·β（x）＋B·α（x）＋α（x）·β（x）］由无穷小的性质可知，上式中的函数A·β......
2025-09-30
高数上册-求导四则运算法则
【摘要】：求导法则Ⅰ设函数u（x），v（x）在x处可导，则u（x）±v（x）及u（x）·v（x）也在x处可导，且若再增加条件v（x）≠0，则函数在x处也可导，且证令f（x）＝u（x）±v（x），g（x）＝u（x）·v（x），由导数定义与极限的运算法则，得由于v（x）在x处可导必连续，则再由极限运算法则与导数定义得由此得两个函数的商的求导法则：证毕.利用常数函数的导数为零，再由求导法则Ⅰ中的式（2－12）
求导法则Ⅰ 设函数u（x），v（x）在x处可导，则u（x）±v（x）及u（x）·v（x）也在x处可导，且
若再增加条件v（x）≠0，则函数
在x处也可导，且
证 令f（x）＝u（x）±v（x），g（x）＝u（x）·v（x），由导数定义与极限的运算法则，得
由于v（x）在x处可导必连续，则
再由极限运算法则与导数定义得
由此得两个函数的商的求导法则：
证毕.
利用常数函数的导数为零，再由求导法则Ⅰ中的式（2－12）可得如下推论.
推论1 设u（x）在x处可导，c为常数，则cu（x）在x处也可导，且
另外求导法则Ⅰ中的加法、减法与乘法的运算法则可推广到有限个可导函数的情形.
推论2 设u（x），v（x），w（x）均在x处可导，则u（x）＋v（x）＋w（x）与u（x）v（x）w（x）在x处也可导，且
例1 求对数函数y＝logax的导数.
解 由于
，则
即
例2 求y＝tanx的导数.
解 由商的求导法则，得
即(https://www.chuimin.cn)
同理可得
例3 求函数
的导数.
解 由导数加法与减法运算的法则，得
例4 求f（x）＝extanx的导数.
解 由导数乘法运算的法则，得
f′（x）＝（ex）′tanx＋ex（tanx）′＝extanx＋exsec2x＝ex（tanx＋sec2x）
例5 求y＝（x＋1）（1－x）（3x＋2）的导数.
解 由导数加法、减法与乘法运算的法则，得
y′＝（x＋1）′（1－x）（3x＋2）＋（x＋1）（1－x）′（3x＋2）＋（x＋1）（1－x）（3x＋2）′
＝（1－x）（3x＋2）－（x＋1）（3x＋2）＋3（x＋1）（1－x）
＝－9x2－4x＋3
例6 求
的导数.
解 y＝cotx＋1＋2log3x－cosx，由导数加法与减法运算的法则，得
例7 求
的导数.
解 由商的求导法则，得
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