1）反函数的求导法则求导法则Ⅱ设y＝f（x）在区间Ix内单调、可导，且f′（x）≠0，则其函数x＝φ（y）在相应的区间Iy内也单调、可导，且证设函数的y＝f（x）的反函数x＝φ（y）的自变量y的增量为Δy，则相应地x的增量为Δx.由函数可导必连续的性质及反函数的连续性可得，x＝φ（y）在区间Iy内单调、连续，因此当Δy→0时，有Δx→0.且当Δy≠0时，有Δx≠0，则y，y＋Δy∈Iy，设Δy......
2023-11-19
高数上册-求导四则运算法则
【摘要】：求导法则Ⅰ设函数u（x），v（x）在x处可导，则u（x）±v（x）及u（x）·v（x）也在x处可导，且若再增加条件v（x）≠0，则函数在x处也可导，且证令f（x）＝u（x）±v（x），g（x）＝u（x）·v（x），由导数定义与极限的运算法则，得由于v（x）在x处可导必连续，则再由极限运算法则与导数定义得由此得两个函数的商的求导法则：证毕.利用常数函数的导数为零，再由求导法则Ⅰ中的式（2－12）
求导法则Ⅰ 设函数u（x），v（x）在x处可导，则u（x）±v（x）及u（x）·v（x）也在x处可导，且
若再增加条件v（x）≠0，则函数
在x处也可导，且
证 令f（x）＝u（x）±v（x），g（x）＝u（x）·v（x），由导数定义与极限的运算法则，得
由于v（x）在x处可导必连续，则
再由极限运算法则与导数定义得
由此得两个函数的商的求导法则：
证毕.
利用常数函数的导数为零，再由求导法则Ⅰ中的式（2－12）可得如下推论.
推论1 设u（x）在x处可导，c为常数，则cu（x）在x处也可导，且
另外求导法则Ⅰ中的加法、减法与乘法的运算法则可推广到有限个可导函数的情形.
推论2 设u（x），v（x），w（x）均在x处可导，则u（x）＋v（x）＋w（x）与u（x）v（x）w（x）在x处也可导，且
例1 求对数函数y＝logax的导数.
解 由于
，则
即
例2 求y＝tanx的导数.
解 由商的求导法则，得
即(www.chuimin.cn)
同理可得
例3 求函数
的导数.
解 由导数加法与减法运算的法则，得
例4 求f（x）＝extanx的导数.
解 由导数乘法运算的法则，得
f′（x）＝（ex）′tanx＋ex（tanx）′＝extanx＋exsec2x＝ex（tanx＋sec2x）
例5 求y＝（x＋1）（1－x）（3x＋2）的导数.
解 由导数加法、减法与乘法运算的法则，得
y′＝（x＋1）′（1－x）（3x＋2）＋（x＋1）（1－x）′（3x＋2）＋（x＋1）（1－x）（3x＋2）′
＝（1－x）（3x＋2）－（x＋1）（3x＋2）＋3（x＋1）（1－x）
＝－9x2－4x＋3
例6 求
的导数.
解 y＝cotx＋1＋2log3x－cosx，由导数加法与减法运算的法则，得
例7 求
的导数.
解 由商的求导法则，得
有关高等数学 上册的文章
- 详细阅读
- 详细阅读
-
高数基础：多元复合函数求导法详细阅读
在一元函数中，我们已经知道复合函数的求导公式在求导法中所起的重要作用，对于多元函数来说也是如此.下面我们来学习多元函数的复合函数的求导公式.我们先以二元函数为例，如下所述.一、全导数【知识点回顾】复合函数的求导规则：对于复合函数y=f[φ（x）]，设y=f（u），u=φ（x），其中u叫作中间变量.则复合函数求导用公式表示为：即两个可导函数复合而成的复合函数的导数等于函数对中间变量的导数乘上中间变量......
2023-11-20
-
高等数学上册：极限四则运算法则详细阅读
定理1（1）（2）（3）如果B≠0，则证（1）因为所以当x→□时，f（x）－A与g（x）－B均为无穷小，因而这两个无穷小的代数和［f（x）－A］±［g（x）－B］＝［f（x）±g（x）］－［A±B］仍是当x→□时的无穷小，因此（2）由题设，可令则f（x）·g（x）＝［A＋α（x）］·［B＋β（x）］＝AB＋［A·β（x）＋B·α（x）＋α（x）·β（x）］由无穷小的性质可知，上式中的函数A·β......
2023-11-19
-
高数上册：函数图形描绘详细阅读
要比较准确地描绘出一般函数的图形，仅用描点作图是不够的，为了提高作图的准确性，可将前面讨论的函数性态应用到曲线的作图上，即先利用函数的一阶、二阶导数，分析函数的单调性、极值、凹凸性与拐点等整体性态，并求出曲线的渐近线，然后再描点作图，称这种作图的方法为分析作图法.其一般步骤如下：（1）确定f（x）的定义域、间断点，并讨论函数的奇偶性、周期性.（2）在定义区间内求函数f（x）的一阶、二阶导数为零或不......
2023-11-19
-
数学与生活-函数求导法则详细阅读
前面根据导数的定义，我们求出了一些简单函数的导数，对于一些复杂的函数，如果仍按导数的定义求导，不仅烦琐，有时甚至是不可能的.因此，本节中，将介绍求导数的几个基本法则及一些导数公式，借助这些法则和求导公式，将方便地求出一些函数的导数.一、导数的四则运算法则定理3 设函数u=u（x）和v=v（x）在点x处都可导，则它们的和、差、积、商（分母不为零）构成的函数在点x处也都可导，且有以下法则：以上法则都可......
2023-11-20
-
多元复合函数求导法则详细阅读
定理1 如果函数u=φ（t）及v=ψ（t）都在点t可导，函数z=f（u，v）在对应点（u，v）处具有连续偏导数，则复合函数z=f[φ（t），ψ（t）]在点t处可导，且其导数可用下列公式计算定理1可推广到复合函数的中间变量多于两个的情形.例如，设z=f（u，v，ω），u=φ（t），v=ψ（t），w=ω（t）复合而得复合函数则在与定理相类似的条件下，复合函数在点t可导，且其导数可用下列公式计算式（8.......
2023-10-19
-
高数上册：换元积分法详细阅读
有些不定积分难以用凑微分的方法来积分，比如等.但此时若作适当的x＝φ（t）变 换 后会变得容易积分，这种换元积分的方法称为第二类换元积分法，具体叙述如下.定理2设x＝φ（t）有连续的导函数，且φ′（t）≠0，又设F（t）＋C，则有其中φ－1（x）是x＝φ（t）的反函数.证只需证明两个不定积分有相同的原函数即可.因为F（t）是f（φ（t））φ′（t）的原函数，记Φ（x）＝F（φ－1（x）），则即......
2023-11-19
相关推荐