，xn是（a，b）内任意n个点，证明：ξ∈［a，b］，使得证因为f在［a，b］上连续，且f≥0，故f在［a，b］上存在最大值M与最小值m，且M，m均大于或等于0，则由介值定理的推论可知，ξ∈［a，b］，使得......
2023-11-19
高等数学上册：最大值与最小值存在定理
【摘要】：1）最大（小）值的概念定义1设函数f（x）在区间I上有定义，若x0∈I，对x∈I都有f（x）≤f（x0）（或f（x）≥f（x0））则称f（x0）为函数f（x）在I上的最大值（或最小值），记作例如，y＝1－sinx，在闭区间［0，2π］上有而y＝x2在开区间（a，b）（b＞a＞0）内既无最大值又无最小值.2）最大（小）值存在定理定理1在闭区间上连续的函数必在该区间上取得最大值与最小值.证明略.
1）最大（小）值的概念
定义1 设函数f（x）在区间I上有定义，若∃x0∈I，对∀x∈I都有
f（x）≤f（x0） （或f（x）≥f（x0））
则称f（x0）为函数f（x）在I上的最大值（或最小值），记作
例如，y＝1－sinx，在闭区间［0，2π］上有
而y＝x2在开区间（a，b）（b＞a＞0）内既无最大值又无最小值.
2）最大（小）值存在定理
定理1 在闭区间上连续的函数必在该区间上取得最大值与最小值.
证明略.
定理1是指，如果函数f（x）在闭区间［a，b］上连续，则在［a，b］上至少存在两点x1和x2，使得对∀x∈［a，b］，恒有
f（x1）≤f（x）≤f（x2）(www.chuimin.cn)
即f（x1）与f（x2）分别是f（x）在［a，b］上的最小值与最大值（图1－27）.这样的点x1，x2在［a，b］上一定存在，有可能在（a，b）内，也有可能是闭区间的端点.
图1－27
必须注意该性质在开区间内不一定成立.例如定义在区间
内的连续函数y＝tanx在
内就取不到最大值与最小值，而在
上的连续函数y＝tanx就有最大值
与最小值
.
另外还要注意，若函数在闭区间上有间断点时，也不一定有此性质.例如，
显然f（x）在闭区间［0，2］上有定义，但
因此x＝1为f（x）的间断点，事实上，f（x）在闭区间［0，2］上不存在最大值与最小值（如图1－28所示）.
图1－28
由定理1显然可得到下面的有界性定理.
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2023-11-19
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