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高等数学上册：连续函数运算法则

2023-11-19 理论教育版权反馈

【摘要】：1）连续函数的四则运算法则函数的连续性是由函数的极限来定义的，所以根据极限的四则运算法则，可得下面的连续函数的四则运算法则.定理1若函数f（x）与g（x）都在点x0处连续，则函数f（x）±g（x），f（x）·g（x）都在点x0处连续，若再增加条件g（x0）≠0，则也在点x0处连续.证设函数f（x），g（x）都在点x0处连续，所以由极限的加、减、乘运算法则，可得即f（x）±g（x），f（x）·g

1）连续函数的四则运算法则

函数的连续性是由函数的极限来定义的，所以根据极限的四则运算法则，可得下面的连续函数的四则运算法则.

定理1　若函数f（x）与g（x）都在点x0处连续，则函数f（x）±g（x），f（x）·g（x）都在点x0处连续，若再增加条件g（x0）≠0，则也在点x0处连续.

证　设函数f（x），g（x）都在点x0处连续，所以

由极限的加、减、乘运算法则，可得

即f（x）±g（x），f（x）·g（x）都在点x0处连续.

又当g（x0）≠0时，由极限的商运算法则，可得

从而在x0处连续.定理得证.

由于函数y＝sinx，y＝cosx均在R内连续，而

则三角函数tanx，cotx，secx，cscx在它们各自相应的定义区间上都是连续的.

综上所述，三角函数sinx，cosx，tanx，cotx，secx，cscx均在它们各自的定义区间上处处连续.

说明：这里的定义区间是指包含在定义域内的区间.

2）反函数与复合函数的连续性

（1）反函数的连续性

定理2　若函数y＝f（x）在区间Ix上严格单调增加（或减少）且连续，则其反函数x＝f－1（y）也在对应的区间Iy＝｛y｜y＝f（x），x∈Ix｝上严格单调增加（或减少）且连续.

证明略.

例如，由于y＝sinx在上单调增加且连续，由定理2，反正弦函数y＝arcsinx在闭区间［－1，1］上也单调增加且连续；同样的道理，其他反三角函数如y＝arccosx在闭区间［－1，1］上单调减少且连续，y＝arctanx在区间（－∞，＋∞）内单调增加且连续，y＝arccotx在区间（－∞，＋∞）内单调减少且连续.(www.chuimin.cn)

综上所述，三角函数与反三角函数都在其定义区间上连续.

（2）复合函数的连续性

由复合函数的极限运算法则可推得下面的定理.

定理3　设f［φ（x）］在内有定义，函数u＝φ（x）在x0处的极限为a，且y＝f（u）在u＝a处连续，则复合函数y＝f［φ（x）］在x0处有极限，且

证明略.

定理4　设函数u＝φ（x）在x0处连续，且u0＝φ（x0），y＝f（u）在u0处连续，则复合函数y＝f［φ（x）］在x0处连续.即

证明略.

推论　由有限个连续函数经过层层复合所得到的复合函数仍然是连续函数.

例7　求

解　可看成由复合而成.因为

而函数y＝tanu在u＝3处连续，故

例8　讨论函数的连续性.

解　函数可看成由复合而成，y＝eu在（－∞，＋∞）内连续在（－∞，0）及（0，＋∞）内均连续，根据定理4，函数在（－∞，0）及（0，＋∞）内连续.

又在x＝0处无意义，故x＝0为函数的间断点，由于

故x＝0为函数的第二类无穷型间断点.