观察函数当x趋近于∞时发现：当x趋近于∞时对应的函数值无限地与数值0接近，即当因此数值0为函数当x→∞时的极限.设a为某常数，如果当｜x｜无限增大时，函数f（x）与a可无限地接近，则称a是函数f（x）当x→∞时的极限，记作或f（x）→a（当x→∞时）.式“x→∞”表示自变量x的绝对值无限增大的变化过程，在数轴上看，“x→∞”表示x沿着数轴向两边（或分别向右、左）移动，并离原点的距离越来越远，直至无......
2025-09-30
高等数学上册：函数间断点
【摘要】：有的曲线在定义域上不是处处连续的，而会在某些点处断开，例如函数y＝它在x＝0时无定义，其图形在该点处断开；又如函数y＝tanx，它在x＝kπ＋时无定义，其图形在这些点处断开；又如取整函数y＝［x］，它在整数点处都有定义，但其图形在这些点处都是断开的.观察发现曲线上断开的这些点处都具有如下特征：函数在该点的邻近有定义，但在该点处不连续.将这类点称为函数的间断点.定义4设函数f（x）在点x0的某去心
有的曲线在定义域上不是处处连续的，而会在某些点处断开，例如函数y＝
它在x＝0时无定义，其图形在该点处断开；又如函数y＝tanx，它在x＝kπ＋
时无定义，其图形在这些点处断开；又如取整函数y＝［x］，它在整数点处都有定义，但其图形在这些点处都是断开的.观察发现曲线上断开的这些点处都具有如下特征：函数在该点的邻近有定义，但在该点处不连续.将这类点称为函数的间断点.
定义4 设函数f（x）在点x0的某去心邻域
（x0）内有定义，但在点x0处不连续，则称x0为函数f（x）的不连续点或间断点.
根据函数f（x）在点x0处连续的定义可知，当f（x）具有如下三种情形之一：
①在x0的邻近有定义，但在x0处无定义；
②在x0处有定义，但
不存在；
③在x0处有定义，且
此时点x0就是函数f（x）的间断点.
为了便于应用，需要对函数f（x）的间断点进行分类.根据函数在其间断点处左、右极限的存在性，通常可以将函数的间断点分成如下两种情形.
1）
均存在
如果函数在间断点x0处的左、右极限均存在，则称x0为函数的第一类间断点.在第一类间断点中又有如下的两种情形.
（1）
的情形
如果在第一类间断点处函数的左右极限存在但不相等，则称这类间断点为函数的跳跃型间断点.
例2 讨论函数
在x＝0处的连续性.
解 由于
即
因此
不存在，即f（x）在x＝0处不连续.
上面例2中函数y＝f（x）的图形在x＝0处产生了间断且跳跃的现象.f（x）在x＝0处产生这种间断的原因是f（x）在x＝0处的左、右极限不相等，故x＝0为函数的跳跃型间断点（如图1－25所示）.
图1－25
（2）
存在的情形
如果在第一类间断点处函数的左、右极限存在且相等，即极限存在，则称这类间断点为函数的可去型间断点.
例3 讨论函数
在x＝1处的连续性.
解 f（x）在x＝1处有定义
且
(https://www.chuimin.cn)
但由于
故f（x）在x＝1处间断（如图1－26所示）.
图1－26
在例3中函数虽然在x＝1处间断，但若把x＝1的定义去掉，重新改变函数f（x）在x＝1处的定义为f（1）＝1，改变定义后的f（x）就在x＝1处连续了，故x＝1为函数f（x）的第一类可去型间断点.
例4 讨论函数
在x＝－2处的连续性.
解 f（x）在x＝－2处无定义，故x＝－2为f（x）的间断点.又
该函数虽然在x＝－2处间断，但如果对f（x）在x＝－2处，补充定义f（－2）＝－4，使
那么f（x）在x＝－2处就连续了.故x＝－2为函数f（x）的第一类可去型间断点.
从例3及例4可以看到，虽然
，但A≠f（x0）或f（x）在x0处无定义，所以x0为f（x）的间断点.对于这类间断点，都可以通过改变或补充定义的形式使改变后的函数在该点连续.故这类间断点都是函数的可去型间断点.
2）
中至少有一个不存在
如果函数在间断点x0处的左、右极限中至少有一个不存在，则称x0为函数的第二类间断点.
第二类间断点有如下的两种情形.
（1）
中至少有一个为∞的情形
如果函数f（x）在间断点x0处的左、右极限中至少有一个为∞，这类间断点称为函数的无穷型间断点.
例5 讨论函数
在x＝0处的连续性.
解 因为x＝0时，f（x）无定义，故f（x）在x＝0处间断.又
即
在间断点x＝0处的极限为∞.
因此x＝0为函数f（x）的第二类无穷型间断点.
（2）
中至少有一个不存在（但不趋于无穷大）的情形
如果函数f（x）在间断点x0处的左、右极限中至少有一个不存在（但不趋于无穷大），这类间断点称为函数的振荡型间断点.在这类间断点处当x→x0时，f（x）的值往往在多个值之间来回摆动，因此这时
至少有一个不存在，但不等于无穷大.
例6 讨论函数
在x＝0处的连续性.
解 f（x）在x＝0处无定义，故x＝0为f（x）的间断点.
又因为当x→0时
的值在－1与1之间不断地变化，故
不存在（且不为∞）.
因此x＝0为函数
的第二类振荡型间断点.
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