高等数学第一册：函数连续性概念

2023-11-19 理论教育版权反馈

【摘要】：＋a0，由于pn，故多项式函数在R内连续.又如三角函数y＝sinx，y＝cosx，由于故它们也均在R内连续.在几何上，连续函数的图形是一条连绵不断的曲线.

我们观察到许多曲线的图形在一定的范围内是连续不间断的，其直观的概念是能够在笔不提起的情况下一笔画出一个函数的图形.自然界中的许多现象如空气、水的流动，气温高低变化等也都是连续变化着的.在数学上，称这些现象具有连续性.下面讨论一元函数的连续性.

为了准确地用数学语言描述函数的这种性态，先介绍增量（改变量）的概念.

1）增量

若变量u从始点u1变化到终点u2，则称u2－u1为变量u的增量（或改变量），记作Δu，即

Δu＝u2－u1　（或u2＝u1＋Δu）

当u的值变大、变小或不变时，对应的Δu分别为正数、负数、0（图1－24）.

图1－24

设函数y＝f（x）在U（x0）内有意义，自变量x的始点为x0，并在x0处有增量Δx，则x从x0变到了x0＋Δx，相应地，函数y从f（x0）变到了f（x0＋Δx），这时函数的增量为

Δy＝f（x0＋Δx）－f（x0）

2）函数在点x0处的连续性

容易观察到，如果曲线y＝f（x）在定义域内的点x0处的图形没有断开，这时f（x）在x0处就有一个共同的特点：当自变量的改变量无限小时，相应函数值的改变量也无限小.例如关于细金属丝的长度，当温度T的增量ΔT很微小时，其相应的长度l的增量Δl也很微小，而且｜Δl｜可以小于预先任意指定的程度，只要｜ΔT｜充分小.即当ΔT→0时，Δl→0，我们将具有这种特性的点x0称为函数的连续点.

根据以上分析，给出函数在一点连续的定义如下.

定义1　设f（x）在点x0的某邻域U（x0）内有定义，若当自变量x的增量Δx＝x－x0趋向于零时，对应函数的增量Δy＝f（x0＋Δx）－f（x0）也趋向于零，即