定义1称满足条件xn≤xn＋1（n＝1，2，…）即｛xn｝单调增加.下面再证｛xn｝上有界：由xn的展开式可知即｛xn｝上有界.因此该数列｛xn｝单调增加且有上界，由准则Ⅱ可知，极限存在，将该极限用字母e表示，即可证明e是一个无理数，且2＜e＜3，它的值为e＝2.718 281 828 459 045…......
2023-11-19
高等数学：夹逼准则-高等数学 上册
【摘要】：准则Ⅰ若函数f（x），g（x），h（x）在点x0的某去心邻域内满足条件：（1）g（x）≤f（x）≤h（x），（2）则存在，且等于a.证由于，因此，对ε＞0，δ1＞0，当x满足0＜｜x－x0｜＜δ1时，有｜g（x）－a｜＜ε，即又由于则对上面的ε＞0，δ2＞0，当x满足0＜｜x－x0｜＜δ2时，有｜h（x）－a｜＜ε，即取δ＝min｛δ1，δ2｝，则当x满足0＜｜x－x0｜＜δ时，（1－25）、
准则Ⅰ 若函数f（x），g（x），h（x）在点x0的某去心邻域内满足条件：
（1）g（x）≤f（x）≤h（x），
（2）
则
存在，且等于a.
证 由于
，因此，对∀ε＞0，∃δ1＞0，当x满足0＜｜x－x0｜＜δ1时，有｜g（x）－a｜＜ε，即
又由于
则对上面的ε＞0，∃δ2＞0，当x满足0＜｜x－x0｜＜δ2时，有｜h（x）－a｜＜ε，即
取δ＝min｛δ1，δ2｝，则当x满足0＜｜x－x0｜＜δ时，（1－25）、（1－26）两式同时成立，再由条件（1），有
a－ε＜g（x）≤f（x）≤h（x）＜a＋ε
即
｜f（x）－a｜＜ε
所以
这个准则也适用于自变量的其他变化过程.对于数列极限也同样成立.
例1 证明
图1－23
证 在单位圆中，设∠AOM＝x，且
由于在单位圆中的弧度用x表示，则有向线段BM＝sinx，TA＝tanx，弧
（图1－23），由于
△OAM的面积＜扇形OAM的面积＜△OAT的面积
即
当
时，sinx＞0，用
除上式各项，不等式化为
又由于
因此式子
x＜0时也成立，故上式在
时成立.又已知(www.chuimin.cn)
由夹逼准则，可得
该极限在极限理论与计算中都有重要应用，所以称该极限为重要极限一.
例2 计算
解 
例3 
解
例4 计算
解
例5 计算
解 
例6 计算
解 因为
则
例7 求
证 因
又
由夹逼准则，得
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2023-11-19
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2023-11-19
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2023-11-19
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2023-11-19
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2023-11-19
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2023-11-19
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