高等数学上册：极限四则运算法则

2023-11-19 理论教育版权反馈

【摘要】：定理1（1）（2）（3）如果B≠0，则证（1）因为所以当x→□时，f（x）－A与g（x）－B均为无穷小，因而这两个无穷小的代数和［f（x）－A］±［g（x）－B］＝［f（x）±g（x）］－［A±B］仍是当x→□时的无穷小，因此（2）由题设，可令则f（x）·g（x）＝［A＋α（x）］·［B＋β（x）］＝AB＋［A·β（x）＋B·α（x）＋α（x）·β（x）］由无穷小的性质可知，上式中的函数A·β

定理1　

（1）

（2）

（3）如果B≠0，则 pagenumber_ebook=48,pagenumber_book=37

证　（1）因为

所以当x→□时，f（x）－A与g（x）－B均为无穷小，因而这两个无穷小的代数和

［f（x）－A］±［g（x）－B］＝［f（x）±g（x）］－［A±B］

仍是当x→□时的无穷小，因此

（2）由题设，可令

则

f（x）·g（x）＝［A＋α（x）］·［B＋β（x）］

＝AB＋［A·β（x）＋B·α（x）＋α（x）·β（x）］

由无穷小的性质可知，上式中的函数A·β（x）＋B·α（x）＋α（x）·β（x）是x→□时的无穷小，因此

（3）当B≠0时，因为

由无穷小的性质可知，上式分子中的函数Bα（x）－Aβ（x）是x→□时的无穷小，而

因此取当x→□时，有

即

由此可知，当x→□时是局部有界的.

所以是一个当x→□时的无穷小，即

即

定理1中的式（1－9）与（1－10）可以推广到有限个函数相加、相减及相乘的情形.

推论1　设当x→□时，函数f1（x），f2（x），…，fn（x）（n∈N＋）的极限都存在，则

推论2　设存在，则

注意：上面所有的结论对数列极限也同样成立.

由1.3节的例8可知

再根据定理1中极限的商的运算法则可得（当x0在相应三角函数的定义域内时）

例1　求

解

例2　令

解

由例2可知，任何多项式函数在有限点处的极限都等于该点处的函数值.

例3　

解　由例2的结论，可知(www.chuimin.cn)

由极限的运算法则，可得

一般地，设P（x），Q（x）均为多项式函数，则

当Q（x0）≠0时，有

但当Q（x0）＝0时，上式不成立.

下面讨论Q（x0）＝0时，求的方法.

例4　求

解　当x→1时，分母极限为0，故此极限不能直接用极限的商的运算法则来求.由于分子极限也为0，显然这时分子与分母有公因式（x－1），我们知道函数在x→x0时的极限与它在x＝x0处是否有意义无关，因此在求x→x0的极限时，不妨设x≠x0，即x－x0≠0.这样，求极限时可约去公因式（x－x0），从而化为能用极限的商的运算法则来求的极限，即

由例4可知，当x→x0时分母、分子的极限都是0，把这样的极限称为型.对于型的极限，可以先对函数恒等变形并分解因式，消去公因式后再求余式的极限.在该类极限中，公因式一般多为极限为零的因式，我们常把极限为零的因式称为零因子，把这种消去公共零因子后再求余式的极限的方法称为消去零因子法.该方法适用于型的极限中.