观察函数当x趋近于∞时发现：当x趋近于∞时对应的函数值无限地与数值0接近，即当因此数值0为函数当x→∞时的极限.设a为某常数，如果当｜x｜无限增大时，函数f（x）与a可无限地接近，则称a是函数f（x）当x→∞时的极限，记作或f（x）→a（当x→∞时）.式“x→∞”表示自变量x的绝对值无限增大的变化过程，在数轴上看，“x→∞”表示x沿着数轴向两边（或分别向右、左）移动，并离原点的距离越来越远，直至无......
2025-09-30
高等数学上册：无穷大量的定义及性质
【摘要】：在前面，已经多次提到“无穷大”这个概念，这里对这一变化状态给出确切的定义.我们知道，当x→□时，对应函数的绝对值｜f（x）｜无限增大，就称函数f（x）为当x→□时的无穷大量.设M为任意取定的大正数M，则不等式｜f（x）｜＞M表示函数的绝对值｜f（x）｜可以超过预先任意给定的大正数M，因此由M的任意性可知，不等式｜f（x）｜＞M表示函数的绝对值无限增大.再结合无穷大对应的极限过程的精确描述，由此得到
在前面，已经多次提到“无穷大”这个概念，这里对这一变化状态给出确切的定义.
我们知道，当x→□时，对应函数的绝对值｜f（x）｜无限增大，就称函数f（x）为当x→□时的无穷大量.
设M为任意取定的大正数M，则不等式｜f（x）｜＞M表示函数的绝对值｜f（x）｜可以超过预先任意给定的大正数M，因此由M的任意性可知，不等式｜f（x）｜＞M表示函数的绝对值无限增大.再结合无穷大对应的极限过程的精确描述，由此得到下面的定义.
定义2 若对于任意的大正数M，总存在δ＞0，当0＜｜x－x0｜＜δ时，有｜f（x）｜＞M成立，则称函数f（x）为当x→x0时的无穷大量，简称无穷大.
但为了方便叙述函数的这一性态，我们也称这时函数的“极限”是无穷大，并记作
对其他极限过程的无穷大有类似的定义，请读者自己给出.(https://www.chuimin.cn)
需要指出，无穷大是函数极限不存在的一种情形.同时要注意，当函数f（x）为当x→□时的无穷大时，由于｜f（x）｜可以无限大，因此无穷大一定是无界函数，但无界函数不一定是无穷大.另外还要指出无穷大不是数，而是对应特定变化过程时的函数或变量，不能与很大的数（几亿、万亿等）混为一谈.
例如：当x→0时，函数
无界但不是无穷大量.
说明：由于取
时，对应函数值
时对应函数值随n的增大而无限增大，因此x→0时
是无界函数.
由于取
时，对应函数值
这时对应函数值随n的增大总等于零，因此当x→0时，无论选取多大的正数M，总有无数的x→0点
对应的函数值总是等于0，因而它们对应的函数值就不满足不等式｜f（x）｜＞M，因而函数
当x→0时不是无穷大量.
综上分析可知：函数
当x→0时无界但不是无穷大量.
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