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无穷小的定义-高等数学上册

2023-11-19 理论教育版权反馈

【摘要】：定义1若则称函数f（x）为当x→□时的无穷小量，简称无穷小.特别地，若则称数列｛xn｝是n→∞时的无穷小.例如，由于所以函数是x→∞时的无穷小；由于所以常数0可以看作任意变化过程时的无穷小；由于所以数列是n→∞时的无穷小.应当指出无穷小是对应特殊变化过程时的变量或函数，不能将它与绝对值很小很小的固定常数混为一谈.任何非零常数无论其绝对值多么小，都不是无穷小.由于零的极限是零，所以零是唯一可以作为

定义1　若则称函数f（x）为当x→□时的无穷小量，简称无穷小.

特别地，若则称数列｛xn｝是n→∞时的无穷小.

例如，由于所以函数是x→∞时的无穷小；由于所以常数0可以看作任意变化过程时的无穷小；由于所以数列是n→∞时的无穷小.

应当指出无穷小是对应特殊变化过程时的变量或函数，不能将它与绝对值很小很小的固定常数混为一谈.任何非零常数无论其绝对值多么小，都不是无穷小.由于零的极限是零，所以零是唯一可以作为无穷小的常数.

因为无穷小是以零为极限的函数，所以无穷小与函数的极限之间有以下密切联系.

由函数极限的定义可知∃正数δ，使得当x满足0＜｜x－x0｜＜δ时，不等式

｜f（x）－A｜＜ε

恒成立，则

因此

上述分析过程可以类推到其他变化过程，由此可得极限的一个充要条件.

定理1　的充要条件为

由定理1可知，如果即f（x）－A就是x→□时的无穷小，将该无穷小记作α（x），则

f（x）－A＝α（x）

显然

则

由此可得极限的另一个充要条件.

定理2　的充要条件为f（x）＝A＋α（x）（其中

定理1与定理2的结论对数列极限也同样成立.

例1　求函数当x→∞时的极限，并说明理由.

解　由于

而

由定理2得

无穷小有以下基本性质.(www.chuimin.cn)

定理3　两个无穷小的和仍为无穷小.

证　设α（x），β（x）都是变化过程x→x0时的无穷小，由极限定义可知，对∀ε，∃正数δ，当x满足0＜｜x－x0｜＜δ时，不等式

都成立.故

即γ（x）＝α（x）＋β（x）也是当x→x0时的无穷小.定理得证.

推论1　有限个无穷小的和仍是无穷小.

定理4　有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小.

证　设函数u（x）是在x0的某去心邻域内的有界函数，即∃δ1＞0及M＞0，当时，有

并设α（x）是x→x0时的无穷小，则∀ε＞0，∃δ2＞0，当时，有

取δ＝min｛δ1，δ2｝，则当时，上面两个不等式（1－7）与（1－8）同时成立，因此

即α（x）·u（x）为x→x0时的无穷小.定理得证.

由定理4可得如下推论2与推论3.

推论2　常量与无穷小的乘积仍为无穷小.

推论3　有限个无穷小的乘积仍为无穷小.

利用定理4可以求一类特殊极限.

例2　求

解　因为

而即arctanx是有界函数，由定理4可知是当x→∞时的无穷小.即

例3　求

解　因为

又

即是有界函数，因此

下面介绍另一类常用变量，即所谓的无穷大量.