1)反函数设函数y=f(x)的定义域为D,值域为f(D),在函数y=f(x)中,x为自变量,y为因变量,x可以独立取值,而y却按确定的法则随x而定,即函数y=f(x)反映的是y怎样随x而定的法则;反过来,对于y∈f(D),若D内总有确定的x与之对应,使得f(x)=y成立,这样得到一个以y为自变量,x为因变量的函数,称该函数为y=f(x)的反函数,记作x=f-1(y),其定义域为f(D),值域为D.......
2025-09-30
定义1 若则称函数f(x)为当x→□时的无穷小量,简称无穷小.
特别地,若则称数列{xn}是n→∞时的无穷小.
例如,由于所以函数
是x→∞时的无穷小;由于
所以常数0可以看作任意变化过程时的无穷小;由于
所以数列
是n→∞时的无穷小.
应当指出无穷小是对应特殊变化过程时的变量或函数,不能将它与绝对值很小很小的固定常数混为一谈.任何非零常数无论其绝对值多么小,都不是无穷小.由于零的极限是零,所以零是唯一可以作为无穷小的常数.
因为无穷小是以零为极限的函数,所以无穷小与函数的极限之间有以下密切联系.
由函数极限的定义可知∃正数δ,使得当x满足0<|x-x0|<δ时,不等式
|f(x)-A|<ε
恒成立,则
因此
上述分析过程可以类推到其他变化过程,由此可得极限的一个充要条件.
定理1 的充要条件为
由定理1可知,如果即f(x)-A就是x→□时的无穷小,将该无穷小记作α(x),则
f(x)-A=α(x)
显然
则
由此可得极限的另一个充要条件.
定理2 的充要条件为f(x)=A+α(x)(其中
定理1与定理2的结论对数列极限也同样成立.
例1 求函数当x→∞时的极限,并说明理由.
解 由于
而
由定理2得
无穷小有以下基本性质.(https://www.chuimin.cn)
定理3 两个无穷小的和仍为无穷小.
证 设α(x),β(x)都是变化过程x→x0时的无穷小,由极限定义可知,对∀ε,∃正数δ,当x满足0<|x-x0|<δ时,不等式
都成立.故
即γ(x)=α(x)+β(x)也是当x→x0时的无穷小.定理得证.
推论1 有限个无穷小的和仍是无穷小.
定理4 有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小.
证 设函数u(x)是在x0的某去心邻域内的有界函数,即∃δ1>0及M>0,当时,有
并设α(x)是x→x0时的无穷小,则∀ε>0,∃δ2>0,当时,有
取δ=min{δ1,δ2},则当时,上面两个不等式(1-7)与(1-8)同时成立,因此
即α(x)·u(x)为x→x0时的无穷小.定理得证.
由定理4可得如下推论2与推论3.
推论2 常量与无穷小的乘积仍为无穷小.
推论3 有限个无穷小的乘积仍为无穷小.
利用定理4可以求一类特殊极限.
例2 求
解 因为
而即arctanx是有界函数,由定理4可知
是当x→∞时的无穷小.即
例3 求
解 因为
又
即是有界函数,因此
下面介绍另一类常用变量,即所谓的无穷大量.
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