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高等数学上册：极限性质

2023-11-19 理论教育版权反馈

【摘要】：利用函数极限的定义，可得下列极限的性质.1）唯一性定理2若存在，则极限唯一.证（反证法）假设极限不唯一，则存在两个不相等的常数a，b，使得均成立.不妨设b＞a，由于取则δ1＞0，当x满足0＜｜x－x0｜＜δ1时，恒有即又由于仍取则δ2＞0，当x满足0＜｜x－x0｜＜δ2时，恒有即取δ＝min｛δ1，δ2｝，则当x满足0＜｜x－x0｜＜δ时，上面（1－5）、（1－6）两式均成立，但这是不可能的.

利用函数极限的定义，可得下列极限的性质.

1）唯一性

定理2　若存在，则极限唯一.

证　（反证法）假设极限不唯一，则存在两个不相等的常数a，b，使得均成立.不妨设b＞a，由于

取则∃δ1＞0，当x满足0＜｜x－x0｜＜δ1时，恒有

即

又由于

仍取则∃δ2＞0，当x满足0＜｜x－x0｜＜δ2时，恒有

即

取δ＝min｛δ1，δ2｝，则当x满足0＜｜x－x0｜＜δ时，上面（1－5）、（1－6）两式均成立，但这是不可能的.

所以极限唯一.证毕.

2）局部有界性

定理3　若存在，则∃δ＞0，当时，f（x）有界.

证　设由极限定义，取ε＝1，则∃δ＞0，当x满足0＜｜x－x0｜＜δ时，有｜f（x）－a｜＜1，即(www.chuimin.cn)

a－1＜f（x）＜a＋1

所以当时，f（x）有界.证毕.

3）局部保号性

定理4　若且a＞0（或a＜0），则∃δ＞0，当时，f（x）＞0（或f（x）＜0）.

证　由

取则∃δ＞0，当时，恒有

即

故

对于a＜0的情形，同理可证结论成立.证毕.

推论1　若且∃δ＞0，当时，f（x）≥0（或f（x）≤0），则a≥0（或a≤0）.

证　因为推论1是定理4的逆否命题，故推论1成立.证毕.

以上结论对于极限的其他极限过程也在相应的情形下成立.