），就称数列{xn}有下界.统称为有界数列.准则Ⅱ的证明从略.准则Ⅱ可推广到函数情形中去，在此不再赘述.例5 证明数列收敛，并求其极限.解 数列显然是单调递增的，是否有界很容易用数学归纳法证明，而且an+1=，利用单调有界准则，设其极限为A，则有，可得A=2.2.第二个重要极限作为准则Ⅱ的一个应用，下面来证明第二个重要极限证 设，先证明数列{xn}收敛.对任意的0≤a＜b和正整数n，都满足不等式事实上，=bn+bn-1a+…......
2023-11-22
高等数学证明：极限不存在
【摘要】：若在自变量的某个变化过程中，函数f（x）不能与某个确定的值无限接近，则f（x）在此变化过程中的极限不存在.极限不存在的具体情况可能很复杂，下面举出几种常见的类型.1）当x→x0或x→∞时，函数的绝对值无限增大如果在x的某一变化过程中，对应函数f（x）的绝对值｜f（x）｜无限增大，那么f（x）就不可能向某一定值逼近，因此f（x）在此变化过程中的极限就不存在.这时，虽然极限不存在，但由于｜f（x）｜是
若在自变量的某个变化过程中，函数f（x）不能与某个确定的值无限接近，则f（x）在此变化过程中的极限不存在.极限不存在的具体情况可能很复杂，下面举出几种常见的类型.
1）当x→x0或x→∞时，函数的绝对值无限增大
如果在x的某一变化过程中，对应函数f（x）的绝对值｜f（x）｜无限增大，那么f（x）就不可能向某一定值逼近，因此f（x）在此变化过程中的极限就不存在.
这时，虽然极限不存在，但由于｜f（x）｜是随着x的变化而无限增大，有一定的变化趋势，这个变化趋势就是对应函数f（x）的绝对值无限增大，因此称函数f（x）为在这个变化过程中的无穷大，记作
这里x→□表示x→x0或x→∞等某个自变量的变化过程，后文中x→□表示同样的意义，不再一一说明.
因此
中的“∞”不是某一定值，它表示f（x）的绝对值无限增大的变化趋势.这时极限
是不存在的.
例如，当x→0时，函数
的绝对值
无限增大，因此
2）当x→x0或x→∞时，函数没有确定的变化趋势
如果在x的某一变化过程中，对应函数f（x）趋向于不同的常数，或在几个不同的常数间变化，那么在x的该变化过程中，极限
不存在.
例如f（x）＝sinx，当x→∞时，f（x）的值在－1与1之间不断地来回振荡变化，没有确定的趋向.当取x＝kπ（k∈N），且k→∞，则有x→∞，这时(www.chuimin.cn)
sinx＝sinkπ＝0
当取
且k→∞，则有x→∞，这时
等等.因此当x→∞时sinx的值在－1与1之间变化、振荡，故
不存在.
类似地可知极限
也同样是不存在的.
3）当x→x0或x→∞时两侧极限中有一个不存在或它们不相等
例10 设
讨论
的存在性.
解 由于
故
不存在.
有关高等数学 上册的文章
- 详细阅读
-
高等数学上册：极限性质详细阅读
利用函数极限的定义，可得下列极限的性质.1）唯一性定理2若存在，则极限唯一.证（反证法）假设极限不唯一，则存在两个不相等的常数a，b，使得均成立.不妨设b＞a，由于取则δ1＞0，当x满足0＜｜x－x0｜＜δ1时，恒有即又由于仍取则δ2＞0，当x满足0＜｜x－x0｜＜δ2时，恒有即取δ＝min｛δ1，δ2｝，则当x满足0＜｜x－x0｜＜δ时，上面（1－5）、（1－6）两式均成立，但这是不可能的.......
2023-11-19
-
数列极限：高等数学上册详细阅读
对于给定的数列｛xn｝，我们讨论当项数n无限增大时（记作n→∞），对应项的变化趋势.观察上面的四个数列，容易看出，当n→∞时，数列趋于1；数列各项的值在数1的两侧来回交替着变化，且越来越接近1；数列｛2n－1｝越来越大，无限增大；数列｛1－（－1）n｝各项的值永远在0与2之间交互取得，而不与某一数接近.如果当n→∞时，数列的项xn能无限接近于某个常数A，则称这个数列为收敛数列，常数A称为当n→∞时......
2023-11-19
-
数列极限的几何意义及证明方法详细阅读
的极限为0.证 若q=0，结论是显然的.现设0＜|q|＜1，对于任意ε>0，要使得|q|n-1-0＜ε，即qn-1＜ε，只须在不等式两边取对数后，使得（n-1）ln|q|＜lnε成立就行了.因为0＜q＜1，所以ln|q|＜0，所以，即.取，则当n＞N时，有qn-1-0＜ε成立.即=0（q＜1）3.数列极限的几何意义由不等式|xn-a|＜ε等价于a-ε＜xn＜a+ε.可得到数列极限的几何意义：任意一个邻域U（a，ε），数列中总存在某一项xN，在此项后面的所有项xN+1，xN+2，…......
2023-11-22
-
极限运算法则-高等数学详细阅读
一、四则运算法则定理1.9 若，，则1）；2）；3）当b≠0时，.证 只证2）.因为，存在δ0>0，当0＜|x-x0|＜δ0时，|f（x）|≤M.对于任意给定的ε＞0，存在δ1＞0，当0＜|x-x0|＜δ1时，有f（x）-a＜ε成立；对于任意给定的ε＞0，存在δ2＞0，当0＜|x-x0|＜δ2时，有g（x）-b＜ε成立；取δ=min{δ0，δ1，δ2}，则当0＜|x-x0|＜δ时，有|f（x）·g......
2023-11-22
- 详细阅读
-
高等数学学习指导：函数、极限与连续详细阅读
知识要点一、函数的概念1.函数、反函数、基本初等函数、初等函数、复合函数的定义.2.理解函数记号y=f（x）中“f”的意义.函数的两个要素，对于两个或两个以上的函数，只有定义域和对应法则完全相同时才是同一函数.3.弄清基本初等函数的概念，熟悉这些函数的特性.4.求f（x）的定义域.对于较复杂的函数求定义域问题，就是求解由简单函数的定义域所构成的不等式组的解集.5.函数的重要性质：有界性，奇偶性，周......
2023-10-26
-
高等数学：二重极限定义及性质详细阅读
定义2 设二元函数点f（x，y）在点P0（x0，y0）的某邻域内有定义（点P0可以除外），如果该邻域内的点P（x，y）以任意方式无限趋于点P0（x0，y0）时，对应的函数值f（x，y）无限接近于一个确定的常数A，则称常数A为函数f（x，y）当（x，y）→（x0，y0）时的极限，记作为了区别于一元函数的极限，我们把二元函数的极限叫作二重极限.必须注意，所谓二重极限存在，是指点P（x，y）以任何方式趋......
2023-10-19
相关推荐