子极限的定义与性质，自变量的变化过程及其限制

2025-09-30 理论教育版权反馈

【摘要】：上面我们讨论了x→x0与x→∞时函数极限的定义及性质，其中自变量的变化过程x→x0是指自变量x沿x轴从x0的左、右两侧趋于x0，x→∞是指自变量x沿x轴左、右两侧离原点越来越远，趋于无穷远.但有时所讨论的极限中，其自变量的变化过程只须沿某一侧（左侧或右侧）变化，例如考察极限时，由于受函数的定义域限制，自变量在x→0的变化过程中，x只能从0的右侧趋近于0，该变化过程相当于在变化过程“x→0”中增加了

上面我们讨论了x→x0与x→∞时函数极限的定义及性质，其中自变量的变化过程x→x0是指自变量x沿x轴从x0的左、右两侧趋于x0，x→∞是指自变量x沿x轴左、右两侧离原点越来越远，趋于无穷远.但有时所讨论的极限中，其自变量的变化过程只须沿某一侧（左侧或右侧）变化，例如考察极限时，由于受函数的定义域限制，自变量在x→0的变化过程中，x只能从0的右侧趋近于0，该变化过程相当于在变化过程“x→0”中增加了附加条件“x＞0”.又如考察极限时，由于自变量x沿x轴的左、右两侧趋于无穷远时，对应的函数ex有不同的变化趋势，所以要将变化过程x→∞分成左、右两侧分别趋于无穷远的两种情况来讨论，自变量x沿x轴向右（或向左）离原点越来越远，趋于无穷远，则相当于在变化过程“x→∞”中增加了附加条件“x＞0（或x＜0）”.

定义3　在自变量的某变化过程的基础上，增加了附加条件的变化过程称为原变化过程的子过程.子过程对应的极限称为原极限的子极限.

常见的x→x0的子过程有如下两个：

①用表示“x→x0且x＜x0”，即x从x0的左侧趋于x0，例如＝0；

②用表示“x→x0且x＞x0”，即x从x0的右侧趋于x0，例如＝0.

常见的x→∞的子过程有如下三个：

①用“x→＋∞”表示“x→∞且x＞0”，即x沿x轴的正方向趋于无穷远，例如

②用“x→－∞”表示“x→∞且x＜0”，即x沿x轴的负方向趋于无穷远，例如

③用“n→∞”表示“x→＋∞且x＝n，n∈N＋”，例如

特别地，若当时，f（x）向某一定值a逼近，则称a为f（x）在点x0的左极限（或右极限）.下面给出它们的ε－δ定义.

定义4　设f（x）在区间（x0－δ，x0）（或（x0，x0＋δ））内有定义，a为某常数，若对∀ε＞0，∃δ＞0，使得当x满足0＜x0－x＜δ（或0＜x－x0＜δ）时，恒有则称a为函数f（x）在x→x0时的左（或右）极限.

｜f（x）－a｜＜ε

左极限记作

右极限记作

类似地，可得函数极限的ε－X定义.(https://www.chuimin.cn)

定义5　设f（x）在大于某正数（或小于某负数）时有定义，a为某常数，若对∀ε＞0，∃X＞0，使得当x满足x＞X（或x＜－X）时，恒有

｜f（x）－a｜＜ε

则称a为函数f（x）在x→＋∞（或x→－∞）时的极限，记作

极限也称为函数f（x）的单侧极限.

由函数极限的定义，有

定理1　的充要条件为

（2）的充要条件为

请读者自证.

利用定理1，考察下列函数的单侧极限与极限，易知：

由于

由于不存在.

需要指出的是函数极限的子极限的种类还有很多，例如取且n→∞及x＝（2n＋1）π且n→∞，它们都是变化过程x→∞的子过程.因此任何一个极限可以有无数个子极限，如果仅仅有两个子极限存在并相等，不一定能推出原来极限的存在性；反之，若原来的极限存在，则其所有子极限必存在且相等.常利用定理1和这些结论来考察某个极限的存在性.

把变化过程n→∞看作在变化过程x→＋∞中附加条件x＝n（n∈N＋）后的子过程，因此数列极限显然是函数极限的一个子极限.

子极限的定义与性质，自变量的变化过程及其限制

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