自变量x趋于有限值-高等数学上册

2023-11-19 理论教育版权反馈

【摘要】：先看几个例子.例3曲线的切线问题.在初等数学中，已经讨论过圆、椭圆、抛物线等特殊曲线的切线的求法，显然这些方法不具有一般性，不适合推广到一般曲线的情形.下面利用极限思想来给出曲线切线的定义及其求法.设P（x0，f（x0））为曲线C：y＝f（x）上的某定点，Q（x，f（x））为该曲线上的动点，则线段PQ为该曲线C的一条割线，让点Q沿着曲线C向点P无限趋近，在这一变化过程中，如果存在一条定直线PT，

先看几个例子.

例3　曲线的切线问题.

在初等数学中，已经讨论过圆、椭圆、抛物线等特殊曲线的切线的求法，显然这些方法不具有一般性，不适合推广到一般曲线的情形.下面利用极限思想来给出曲线切线的定义及其求法.

设P（x0，f（x0））为曲线C：y＝f（x）上的某定点，Q（x，f（x））为该曲线上的动点，则线段PQ为该曲线C的一条割线，让点Q沿着曲线C向点P无限趋近，在这一变化过程中，如果存在一条定直线PT，使得割线PQ无限接近定直线PT，则定直线PT就是割线PQ的极限位置，这时称直线PT为曲线C在点P处的切线（图1－20）.

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图1－20

由于割线的PQ的斜率为

因此有

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例4　观察下列函数当x趋近于1时的变化趋势：

（1）f（x）＝x＋1；

（2）

（3） pagenumber_ebook=34,pagenumber_book=23

解　通过观察这些函数的图形（图1－21（a）、（b）与（c））发现，函数f（x）＝ pagenumber_ebook=35,pagenumber_book=24 是三个不同的函数，但由于它们在x＝1的去心邻域内有相同的表达式：

f（x）＝g（x）＝h（x）＝x＋1　（x≠1）

因此当x→1时，它们都沿着直线y＝x＋1向定值2无限逼近，即

pagenumber_ebook=35,pagenumber_book=24

图1－21

由例4可知，讨论函数极限时，不需要考虑函数f（x）在x0处的情况，即极限存在与否仅与函数f（x）在x0的两侧邻近的情形有关而与它在x0处有无定义无关.

例5　观察取整函数函数y＝［x］，当x→1及x→1.2时函数y的变化趋势.

解　y＝［x］，当自变量x在数轴上从右侧向1无限接近时，其函数值［x］无限接近于1，而当自变量x在数轴上从左侧向1无限接近时，［x］无限接近于0，因此当x在数轴上从左、右侧向1无限接近时，取整函数y＝［x］不能向某一个数无限趋近，由观察可知，极限不存在；

当自变量x在数轴上的某半径较小的邻域U（1.2）内，从左、右两侧向1.2无限接近时，其函数值［x］都无限接近于1，由观察可知，极限

由例5可知，讨论极限时，只需在内考察函数f（x）的变化趋势即可.

例6　观察狄立克雷函数 pagenumber_ebook=35,pagenumber_book=24 当x趋近于x0时的变化趋势.

解　对任意的点x0，由于在x0的任意邻域内既分布了无穷多个有理数，又分布了无穷多个无理数，因此对应于该函数的值总在0与1之间不断地变化，因此它不能向某一个数值无限趋近.

将自变量x无限接近定值x0（或说x趋于x0）时，记作x→x0.从上面的例子可以看出，当函数的自变量向某定值无限趋近时，一般函数有两类变化趋势：一类为函数总是向某一个常数无限趋近（如例4中的情形），这时若自变量x沿着数轴从x0的左、右两侧邻近向x0无限接近，对应的函数值f（x）都逐渐趋近于某一个常数a，并且函数的这个变化趋势与函数f（x）在x0处是否有定义无关，这样的数a称为函数f（x）当x→x0时的极限，记作另一类为函数不能向某一个常数无限趋近（如例5中当x趋近于1时的情形与例6中的情形），这时称函数f（x）当x→x0时的极限不存在.