数列极限：高等数学上册

2023-11-19 理论教育版权反馈

【摘要】：对于给定的数列｛xn｝，我们讨论当项数n无限增大时（记作n→∞），对应项的变化趋势.观察上面的四个数列，容易看出，当n→∞时，数列趋于1；数列各项的值在数1的两侧来回交替着变化，且越来越接近1；数列｛2n－1｝越来越大，无限增大；数列｛1－（－1）n｝各项的值永远在0与2之间交互取得，而不与某一数接近.如果当n→∞时，数列的项xn能无限接近于某个常数A，则称这个数列为收敛数列，常数A称为当n→∞时

对于给定的数列｛xn｝，我们讨论当项数n无限增大时（记作n→∞），对应项的变化趋势.观察上面的四个数列，容易看出，当n→∞时，

数列趋于1；

数列各项的值在数1的两侧来回交替着变化，且越来越接近1；

数列｛2n－1｝越来越大，无限增大；

数列｛1－（－1）n｝各项的值永远在0与2之间交互取得，而不与某一数接近.

如果当n→∞时，数列的项xn能无限接近于某个常数A，则称这个数列为收敛数列，常数A称为当n→∞时数列｛xn｝的极限，记作

上面极限概念的表述中项xn能与某个常数A无限接近的意思可以理解为当n→∞时，｜xn－A｜可以任意小，即该距离可以小于任意给定的小正数，但必须以n→∞为条件，即距离｜xn－A｜小于任意给定的小正数的条件是要项数n足够大，大到足够保证｜xn－A｜小于预先任意给定的（无论怎样小的）正数.

下面我们以数列为例来讨论极限的数学含义及精确表达.

由观察可知：当n→∞时，数列能与常数1无限接近，即的极限为1.

比如对于数列若给定小正数，由于可知，要使只要n＞100就行了；又若给定小正数　要使就需要n＞10 000才行；若再给定小正数10－10，要使就要n＞1010了.尽管小正数10－10已经很小了，但是否对于无论怎样小的正数ε，不等式总能成立呢？

事实上，对于预先任意给定的无论怎样小的正数ε，要使不等式＜ε成立，只要就行了.我们利用取整函数的意义，取项数则由取整函数的性质可知，当n＞N时，就有这时成立.其中n＞N的意思是n＝N＋1，N＋2，N＋3，…，即当项数n从第N＋1项开始时，不等式就成立了.

综上分析，利用ε－N的数量关系，可得数列极限的精确定义.

定义1　设｛xn｝是一个数列，A是某常数，如果对∀ε＞0，总存在正整数N，使得当n＞N时，不等式｜xn－A｜＜ε都成立，那么就称常数A为数列｛xn｝当n→∞时的极限，记作

这时我们也称数列｛xn｝收敛于A.如果数列｛xn｝没有极限，就称数列｛xn｝是发散的.

定义1中的正整数N与预先给定的小正数ε是有关的，它随着ε的给定而选定，一般地，当ε越小时，N将会相应地越大.

由于｜xn－A｜＜ε⇔A－ε＜xn＜A＋ε，所以的等价意义为：对∀ε＞0，∃N，使得当n＞N时，恒有A－ε＜xn＜A＋ε成立.

因此对数列极限作如下的几何解释：当n→∞时，数列的项xn能与某个常数A无限接近，即随着项数n越来越大，由xn表示的点几乎全部密集在点A的ε邻域中，而在邻域外的点只有有限个（N个），将常数A及数列x1，x2，x3，…，xn，…在数轴上一一表示出来，任取一个小正数ε（无论它多么小），在数轴上作点A的ε邻域即开区间（A－ε，A＋ε），则对上面的ε，必存在N，使数列中除了开始的N项外，自第N＋1项起，后面所有的项